En la última parte de nuestro tema de aproximación lineal,
vamos a ir con uno de
los
teoremas diferenciales más famosos e importantes en cálculo.
Es teorema del valor.
Por lo general, no entiendes que es tan importante
porque es vago cómo usarlo en la vida real.
Pero el resultado sigue siendo impresionante,
y en realidad es lo innovador para
el teorema de cálculo medio que vamos a
estudiar más a fondo en la quinta semana,
y todos los demás de hecho.
Así que empecemos con un rompecabezas.
Un rompecabezas aquí va a ser el siguiente.
Considere alguna función f y un segmento de a a b,
no cambio infinitesimal de
argumento de a a algún punto x,
un segmento real, y el valor aquí es el siguiente.
Supongamos que tenemos un acorde entre los extremos de
la gráfica de este segmento.
¿ Puedes encontrar siempre la línea tangente
en algún punto de un segmento paralelo con este acorde?
Bueno, dibujemos algunas fuerzas ilustrativas básicas,
y en realidad podemos verlo como un teorema todo el tiempo.
Así que esta es nuestra función f,
generalmente dibujada en azul.
Aquí hay un acorde dibujado en color rojo oscuro punteado.
Un hecho impresionante es que, de acuerdo,
obviamente, la línea tangente naranja no es respondida aquí,
pero el verde sí.
Suponiendo, realmente entendemos que siempre hay
algún punto en este segmento
con la línea tangente paralela.
Bueno, ¿por qué es tan importante que preguntes?
Es una pregunta obvia aquí.
Pero vamos a pasar a las fórmulas
para repetir para
entenderlo porque en realidad es bastante
impresionante si lo escribes.
La razón es que el teorema sostiene que
siempre hay un punto C en este segmento con un acorde paralelo.
¿ Cuál es la paralelidad en términos de líneas rectas?
Es la coincidencia de pendientes.
Para la línea tangente,
una pendiente es un atributivo en este punto,
que está escrito en nuestra parte izquierda,
es la derivada de f en el punto C. En la parte derecha,
estamos escribiendo la pendiente de los acordes, que es,
como bien puede entender,
es una fracción de cambio de funciones entre los extremos
del acorde hacia los argumentos
cambian a medida que la longitud del acorde.
¿ Y si lo reescribes en una forma singular?
Es impresionante, porque lo que está escrito?
Está escrito en una ecuación exacta.
No es el caso de nuestra definición de diferenciabilidad,
que significa que son de
alguna manera lineales con una flecha que es infinitesimal.
Aquí, tenemos otra cosa,
que es una ecuación exacta.
El cambio de función es exactamente
proporcional al cambio de argumento,
donde el coeficiente proporcional es igual a una
derivada en algún momento sin ningún error.
El truco aquí es que este punto,
este punto c puede ser muy complicado,
y engañar porque no estamos al
poder de encontrarlo analíticamente en cualquier caso.
Pero es bueno entender porque si
sabes que tu función ha vinculado su derivada, por ejemplo,
no va más alto que cinco y menor que tres,
sabes que tu cambio de función en
todos los segmentos posibles es
proporcional al cambio de argumentos,
con coeficiente limitado
por dos de estos números.
Puede comprender
cuánto cambian sus funciones en este segmento
y, lo que es más importante, el orden de cambio. Lo
cual es bueno, y es una cosa innovadora,
es teorema de cálculo medio,
que significa teorema integracional,
y todos los demás [inaudible].
Bueno, tomémonos un momento
para ver esta hermosa foto,
y te veré en los próximos videos.
Hablaremos de derivados de orden superior
y todas las cosas más complejas,
lo cual también es divertido.