Dans la dernière partie de notre thème d'approximation linéaire,
nous allons aller avec l'un des
théorèmes différentiels les plus célèbres et les plus importants dans le calcul.
C' est un théorème de valeur moyenne.
Habituellement, vous ne comprenez pas que c'est si important
parce que c'est vague comment l'utiliser dans la vraie vie.
Mais le résultat est encore impressionnant,
et est en fait la chose révolutionnaire pour
le théorème de calcul moyen que nous allons
étudier plus loin dans la cinquième semaine,
et tous les autres en fait.
Alors commençons par un puzzle.
Un puzzle ici va être comme suit.
Considérons une fonction f et un segment de a à b,
pas un changement infinitésimal d'
argument de a à un certain point x,
un segment réel, et la valeur ici est la suivante.
Supposons que nous ayons un accord entre les extrémités
du graphique de ce segment.
Pouvez-vous toujours trouver la ligne tangente
à un point quelconque d'un segment parallèle à cet accord ?
Eh bien, dessinons quelques forces d'illustration de base,
et en fait nous pouvons le voir comme un théorème tout le long.
C' est donc notre fonction f,
habituellement dessinée en bleu.
Voici un accord dessiné en pointillé de couleur rouge foncé.
Un fait impressionnant est que, d'accord,
évidemment, la ligne tangente orange n'est pas répondue ici,
mais le vert l'est.
En supposant que nous comprenons réellement qu'il y a toujours
un point sur ce segment
avec la ligne tangente parallèle.
Pourquoi c'est si important que vous demandiez ?
C' est une question évidente ici.
Mais passons aux formules à
répéter pour le comprendre
parce que c'est en fait assez
impressionnant si vous venez de l'écrire.
La raison en est que le théorème est qu'il y a
toujours un point C à ce segment avec un accord parallèle.
Quelle est la parallélisité en termes de lignes droites ?
C' est la coïncidence des pentes.
Pour la ligne tangente,
une pente est un attribut à ce point,
qui est écrit dans notre partie gauche,
est la dérivée de f au point C. À la partie droite,
nous écrivons la pente des accords, qui est,
comme vous pouvez bien le comprendre,
est une fraction de changement de fonctions entre les extrémités
de l'accord vers les arguments
changent à mesure que la longueur de l'accord.
Et si vous le réécrivez sous une forme singulière ?
C' est impressionnant, parce que ce qui est écrit ?
C' est écrit dans une équation exacte.
Ce n'est pas le cas de notre définition de différenciabilité,
qui signifie qu'ils sont
en quelque sorte linéaires avec une flèche infinitésimale.
Ici, nous avons une autre chose,
qui est une équation exacte.
Le changement de fonction est exactement
proportionnel au changement d'argument,
où le coefficient proportionnel est égal à un
dérivé à un moment donné sans aucune erreur.
L' astuce ici est que ce point,
ce point c peut être très délicat,
et mal guidé parce que nous ne sommes pas au
pouvoir de le trouver analytiquement dans tous les cas.
Mais il est agréable de comprendre parce que si vous savez que
vous êtes la fonction a lié son dérivé, par exemple,
il ne va pas supérieur à cinq et inférieur à trois,
vous savez que votre changement de fonction sur
tous les segments possibles est
proportionnel aux arguments changent,
avec délimité
par deux de ces nombres.
Vous pouvez comprendre
combien vos fonctions changent sur ce segment,
et plus important encore, l'ordre des changements. Ce
qui est agréable, et c'est une chose révolutionnaire,
c'est théorème de calcul moyen,
qui signifie théorème d'intégration,
et tous les autres [inaudible].
Eh bien, prenons juste un moment
pour regarder cette belle photo,
et je vous verrai dans les prochaines vidéos.
Nous allons parler de dérivés d'ordre supérieur
et de toutes les choses les plus complexes,
ce qui est aussi drôle.