Nell'ultima parte del nostro tema di approssimazione lineare,
andremo con uno
dei più famosi e più importanti
teoremi differenziali in calcolo.
E' teorema del valore medio.
Di solito, non capisci che è così importante
perché è vago come usarlo nella vita reale.
Ma il risultato è ancora impressionante,
e in realtà è la cosa rivoluzionaria per
il teorema medio di calcolo che
studieremo ulteriormente nella quinta settimana,
e per tutti gli altri in realtà.
Quindi iniziamo con un puzzle.
Un puzzle qui sta per essere il seguente.
Si consideri una funzione f e un segmento da a a b,
non cambiamento infinitesimale di
argomento da a ad un certo punto x,
un segmento reale, e il valore qui è il seguente.
Supponiamo di avere un accordo tra le estremità
del grafico di questo segmento. È
sempre possibile trovare la linea tangente
ad un certo punto di un segmento parallelo a questo accordo?
Beh, disegniamo alcune forze di illustrazione di base,
e in realtà possiamo vederlo come un teorema per tutto il tempo.
Quindi questa è la nostra funzione f, di
solito disegnata in blu.
Qui ci sono un accordo disegnato in punteggiato colore rosso scuro.
Un fatto impressionante è che, ok,
ovviamente, la linea tangente arancione non ha risposta qui,
ma il verde lo è.
Supponendo, in realtà capiamo che c'è sempre
un punto su questo segmento
con la linea tangente parallela.
Beh, perche' e' cosi' importante che chiedi?
E' una domanda ovvia.
Ma passiamo alle formule
per ripetere per
capirlo perché è in realtà abbastanza
impressionante se basta scriverlo.
La ragione è che il teorema sta nel fatto che c'è
sempre un punto C in questo segmento con un accordo parallelo.
Qual è la parallelità in termini di linee rette?
È la coincidenza delle pendenze.
Per la linea tangente,
una pendenza è un attributivo a questo punto,
che è scritto nella nostra parte sinistra,
è la derivata di f nel punto C. Nella parte destra,
stiamo scrivendo la pendenza degli accordi, che è,
come si può ben capire,
è una frazione di funzioni cambiano tra le estremità
dell'accordo verso gli argomenti
cambiano man mano che la lunghezza dell'accordo.
Cosa succede se lo riscrivi in una forma singolare?
È impressionante, perché ciò che è scritto?
E' scritto in un'equazione esatta.
Non è il caso della nostra definizione di differenziabilità,
che sta per essere
in qualche modo lineare con una freccia che è infinitesimale.
Qui, abbiamo un'altra cosa,
che è un'equazione esatta.
Il cambiamento di funzione è esattamente
proporzionale al cambiamento di argomento,
dove il coefficiente proporzionale è uguale a una
derivata ad un certo punto senza errori.
Il trucco qui è che questo punto,
questo punto c può essere molto complicato,
e fuorviante perché non siamo al
potere di trovarlo analiticamente in ogni caso.
Ma è bello capire perché se
sai che la tua funzione ha legato la sua derivata, ad esempio,
non va più di cinque e inferiore a tre,
sai che il tuo cambiamento di funzione su
ogni possibile segmento è
proporzionale al cambiamento degli argomenti,
con coefficiente delimitato
da due di questi numeri.
Puoi capire
quanto le tue funzioni cambiano in questo segmento
e, cosa più importante, l'ordine di modifica.
Che è bello, ed è una cosa rivoluzionaria,
è il teorema di calcolo medio,
che sta per teorema integrativo,
e tutti gli altri [inudibile].
Bene, prendiamo un momento
per dare un'occhiata a questa bella foto,
e ci vediamo nei prossimi video.
Parleremo di derivati di ordine superiore
e di tutte le cose più complesse,
che è anche divertente.