Nell'ultima parte del nostro tema di approssimazione lineare, andremo con uno dei più famosi e più importanti teoremi differenziali in calcolo. E' teorema del valore medio. Di solito, non capisci che è così importante perché è vago come usarlo nella vita reale. Ma il risultato è ancora impressionante, e in realtà è la cosa rivoluzionaria per il teorema medio di calcolo che studieremo ulteriormente nella quinta settimana, e per tutti gli altri in realtà. Quindi iniziamo con un puzzle. Un puzzle qui sta per essere il seguente. Si consideri una funzione f e un segmento da a a b, non cambiamento infinitesimale di argomento da a ad un certo punto x, un segmento reale, e il valore qui è il seguente. Supponiamo di avere un accordo tra le estremità del grafico di questo segmento. È sempre possibile trovare la linea tangente ad un certo punto di un segmento parallelo a questo accordo? Beh, disegniamo alcune forze di illustrazione di base, e in realtà possiamo vederlo come un teorema per tutto il tempo. Quindi questa è la nostra funzione f, di solito disegnata in blu. Qui ci sono un accordo disegnato in punteggiato colore rosso scuro. Un fatto impressionante è che, ok, ovviamente, la linea tangente arancione non ha risposta qui, ma il verde lo è. Supponendo, in realtà capiamo che c'è sempre un punto su questo segmento con la linea tangente parallela. Beh, perche' e' cosi' importante che chiedi? E' una domanda ovvia. Ma passiamo alle formule per ripetere per capirlo perché è in realtà abbastanza impressionante se basta scriverlo. La ragione è che il teorema sta nel fatto che c'è sempre un punto C in questo segmento con un accordo parallelo. Qual è la parallelità in termini di linee rette? È la coincidenza delle pendenze. Per la linea tangente, una pendenza è un attributivo a questo punto, che è scritto nella nostra parte sinistra, è la derivata di f nel punto C. Nella parte destra, stiamo scrivendo la pendenza degli accordi, che è, come si può ben capire, è una frazione di funzioni cambiano tra le estremità dell'accordo verso gli argomenti cambiano man mano che la lunghezza dell'accordo. Cosa succede se lo riscrivi in una forma singolare? È impressionante, perché ciò che è scritto? E' scritto in un'equazione esatta. Non è il caso della nostra definizione di differenziabilità, che sta per essere in qualche modo lineare con una freccia che è infinitesimale. Qui, abbiamo un'altra cosa, che è un'equazione esatta. Il cambiamento di funzione è esattamente proporzionale al cambiamento di argomento, dove il coefficiente proporzionale è uguale a una derivata ad un certo punto senza errori. Il trucco qui è che questo punto, questo punto c può essere molto complicato, e fuorviante perché non siamo al potere di trovarlo analiticamente in ogni caso. Ma è bello capire perché se sai che la tua funzione ha legato la sua derivata, ad esempio, non va più di cinque e inferiore a tre, sai che il tuo cambiamento di funzione su ogni possibile segmento è proporzionale al cambiamento degli argomenti, con coefficiente delimitato da due di questi numeri. Puoi capire quanto le tue funzioni cambiano in questo segmento e, cosa più importante, l'ordine di modifica. Che è bello, ed è una cosa rivoluzionaria, è il teorema di calcolo medio, che sta per teorema integrativo, e tutti gli altri [inudibile]. Bene, prendiamo un momento per dare un'occhiata a questa bella foto, e ci vediamo nei prossimi video. Parleremo di derivati di ordine superiore e di tutte le cose più complesse, che è anche divertente.