Na última parte do nosso tema de aproximação linear,
vamos com um
dos
teoremas diferenciais mais famosos e importantes em cálculo.
É o teorema do valor médio.
Normalmente, você não entende que é tão importante
porque é vago como usá-lo na vida real.
Mas o resultado ainda é impressionante,
e na verdade é a coisa inovadora para
o teorema do cálculo médio que vamos
estudar mais na quinta semana,
e todos os outros na verdade.
Então vamos começar com um quebra-cabeça.
Um quebra-cabeça aqui vai ser o seguinte.
Considere alguma função f e um segmento de a para b,
não mudança infinitesimal de
argumento de a para algum ponto x,
um segmento real, e o valor aqui é o seguinte.
Suponha que temos um acorde entre
as extremidades do gráfico deste segmento.
Você pode sempre encontrar a linha tangente
em algum ponto de um segmento paralelo com este acorde?
Bem, vamos desenhar algumas forças básicas de ilustração,
e na verdade podemos vê-lo como um teorema o tempo todo.
Então esta é a nossa função f,
geralmente desenhada em azul.
Aqui estão um acorde desenhado na cor vermelho-escuro pontilhada.
Um fato impressionante é que, ok,
obviamente, a linha tangente laranja não é respondida aqui,
mas o verde é.
Assumindo, nós realmente entendemos que há sempre
algum ponto neste segmento
com a linha tangente paralela.
Bem, por que é tão importante que pergunte?
É uma pergunta óbvia aqui.
Mas vamos passar para as fórmulas
para repetir para
entendê-lo porque é realmente bastante
impressionante se você apenas escrevê-lo.
A razão é que o teorema é que há
sempre um ponto C neste segmento com um acorde paralelo.
Qual é a paralelidade em termos de linhas retas?
É a coincidência de encostas.
Para a linha tangente,
uma inclinação é uma atribuição neste ponto,
que está escrito em nossa parte esquerda,
é a derivada de f no ponto C. Na parte direita,
estamos escrevendo para baixo a inclinação dos acordes, que é,
como você pode entender,
é uma fração de mudança de funções entre as extremidades
do acorde em direção aos argumentos
mudam conforme o comprimento do acorde.
E se você reescrevê-lo de uma forma singular?
É impressionante, porque o que está escrito?
Está escrito numa equação exacta.
Não é o caso da nossa definição de diferenciabilidade,
que significa que eles são de
alguma forma lineares com uma flecha que é infinitesimal.
Aqui, temos outra coisa,
que é uma equação exata.
A mudança de função é exatamente
proporcional à mudança de argumento,
onde o coeficiente proporcional é igual a uma
derivada em algum momento sem erros.
O truque aqui é que este ponto,
este ponto c pode ser muito complicado,
e desorientador porque não temos o
poder de encontrá-lo analiticamente em qualquer caso.
Mas é bom entender porque se você sabe que sua
função tem ligado sua derivada, por exemplo,
ele não vai mais do que cinco e menor que três,
você sabe que sua mudança de função em
todos os segmentos possíveis é
proporcional à mudança de argumentos,
com promocional coeficiente delimitado
por dois desses números.
Você pode entender
o quanto suas funções mudam nesse segmento
e, mais importante, a ordem de mudança.
O que é bom, e é uma coisa inovadora,
é teorema de cálculo médio,
que significa teorema de integração,
e todos os outros [inaudível].
Bem, vamos apenas tirar um momento
para olhar para esta bela foto,
e eu vou vê-lo nos próximos vídeos.
Vamos falar sobre derivados de ordem superior
e todas as coisas mais complexas, o
que também é engraçado.