Na última parte do nosso tema de aproximação linear, vamos com um dos teoremas diferenciais mais famosos e importantes em cálculo. É o teorema do valor médio. Normalmente, você não entende que é tão importante porque é vago como usá-lo na vida real. Mas o resultado ainda é impressionante, e na verdade é a coisa inovadora para o teorema do cálculo médio que vamos estudar mais na quinta semana, e todos os outros na verdade. Então vamos começar com um quebra-cabeça. Um quebra-cabeça aqui vai ser o seguinte. Considere alguma função f e um segmento de a para b, não mudança infinitesimal de argumento de a para algum ponto x, um segmento real, e o valor aqui é o seguinte. Suponha que temos um acorde entre as extremidades do gráfico deste segmento. Você pode sempre encontrar a linha tangente em algum ponto de um segmento paralelo com este acorde? Bem, vamos desenhar algumas forças básicas de ilustração, e na verdade podemos vê-lo como um teorema o tempo todo. Então esta é a nossa função f, geralmente desenhada em azul. Aqui estão um acorde desenhado na cor vermelho-escuro pontilhada. Um fato impressionante é que, ok, obviamente, a linha tangente laranja não é respondida aqui, mas o verde é. Assumindo, nós realmente entendemos que há sempre algum ponto neste segmento com a linha tangente paralela. Bem, por que é tão importante que pergunte? É uma pergunta óbvia aqui. Mas vamos passar para as fórmulas para repetir para entendê-lo porque é realmente bastante impressionante se você apenas escrevê-lo. A razão é que o teorema é que há sempre um ponto C neste segmento com um acorde paralelo. Qual é a paralelidade em termos de linhas retas? É a coincidência de encostas. Para a linha tangente, uma inclinação é uma atribuição neste ponto, que está escrito em nossa parte esquerda, é a derivada de f no ponto C. Na parte direita, estamos escrevendo para baixo a inclinação dos acordes, que é, como você pode entender, é uma fração de mudança de funções entre as extremidades do acorde em direção aos argumentos mudam conforme o comprimento do acorde. E se você reescrevê-lo de uma forma singular? É impressionante, porque o que está escrito? Está escrito numa equação exacta. Não é o caso da nossa definição de diferenciabilidade, que significa que eles são de alguma forma lineares com uma flecha que é infinitesimal. Aqui, temos outra coisa, que é uma equação exata. A mudança de função é exatamente proporcional à mudança de argumento, onde o coeficiente proporcional é igual a uma derivada em algum momento sem erros. O truque aqui é que este ponto, este ponto c pode ser muito complicado, e desorientador porque não temos o poder de encontrá-lo analiticamente em qualquer caso. Mas é bom entender porque se você sabe que sua função tem ligado sua derivada, por exemplo, ele não vai mais do que cinco e menor que três, você sabe que sua mudança de função em todos os segmentos possíveis é proporcional à mudança de argumentos, com promocional coeficiente delimitado por dois desses números. Você pode entender o quanto suas funções mudam nesse segmento e, mais importante, a ordem de mudança. O que é bom, e é uma coisa inovadora, é teorema de cálculo médio, que significa teorema de integração, e todos os outros [inaudível]. Bem, vamos apenas tirar um momento para olhar para esta bela foto, e eu vou vê-lo nos próximos vídeos. Vamos falar sobre derivados de ordem superior e todas as coisas mais complexas, o que também é engraçado.