В последней части нашей темы линейного приближения,
мы собираемся пойти с одной из
самых известных и наиболее важных
дифференциальных теорем в исчислении.
Это теорема средней ценности.
Обычно вы не понимаете, что это так важно,
потому что это расплывчато, как его использовать в реальной жизни.
Но результат все еще впечатляет,
и на самом деле это новаторская вещь для
средней теоремы исчисления, которую мы собираемся
изучить дальше на пятой неделе,
и все остальные на самом деле.
Итак, давайте начнем с головоломки.
Пазл здесь будет выглядеть следующим образом.
Рассмотрим некоторую функцию f и сегмент от a до b, а
не бесконечно мальное изменение
аргумента от a к некоторой точке x,
реальный сегмент, и значение здесь выглядит следующим образом.
Предположим, что у нас есть аккорд между
концами графика этого сегмента.
Можете ли вы всегда найти линию касательной
в какой-то точке сегмента, параллельного этому аккорду?
Ну, давайте нарисуем некоторые основные силы иллюстрации,
и на самом деле мы можем рассматривать это как теорему все это время.
Итак, это наша функция f,
обычно рисуется синим цветом.
Вот аккорд, нарисованный пунктирным темно-красным цветом.
Впечатляющий факт в том, что
, очевидно, оранжевая линия касательной здесь не отвечена,
но зеленая.
Предполагая, что на самом деле мы понимаем, что всегда
есть точка на этом
отрезке с параллельной прямой касательной.
Почему это так важно, что ты спрашиваешь?
Это очевидный вопрос.
Но давайте перейдем к формулам,
чтобы повторить, чтобы понять это,
потому что это на самом деле довольно
впечатляет, если вы просто запишите его.
Причина в том, что теорема означает, что
всегда есть точка C на этом отрезке с параллельным аккордом.
Что такое параллельность с точки зрения прямых линий?
Это совпадение склонов.
Для касательной линии
уклон является атрибутивным в этой точке,
который написан в нашей левой части,
является производной f в точке C. В правой части
мы записываем вниз наклон аккордов, который,
как вы можете понять,
является частью изменения функций между концами
аккорда в сторону аргументов
меняется по мере того, как длина аккорда.
Что, если вы перепишете его в единственном числе?
Это впечатляет, потому что что что записано?
Это записано в точном уравнении.
Это не случай нашего определения дифференцируемости,
которое означает, что они
каким-то образом линейны со стрелой, которая бесконечно мала.
Здесь у нас есть другая вещь,
которая является точным уравнением.
Изменение функции точно
пропорционально изменению аргумента,
где пропорциональный коэффициент равен
производной в какой-то момент без ошибок.
Хитрость здесь заключается в том, что
этот момент, этот пункт c может быть очень сложным
и ошибочным, потому что мы не в состоянии
найти его аналитически в любом случае.
Но это приятно понимать, потому что если вы знаете, что
функция связывает свою производную, например,
она не идет выше пяти и ниже трех,
вы знаете, что изменение вашей функции на
всех возможных сегментах
пропорционально изменению аргументов,
с рекламными коэффициент, ограниченный
двумя из этих чисел.
Вы можете понять,
как сильно меняются ваши функции на этом сегменте,
и, что более важно, порядок изменения.
Что хорошо, и это новаторская вещь,
это средняя теорема исчисления,
которая означает интеграционную теорему,
и все остальное [неразборчиво].
Ну, давайте просто
взглянем на эту красивую фотографию,
и я увижу вас в следующих видео.
Мы поговорим о производных более высокого порядка
и о более сложных вещах,
что тоже забавно.