В последней части нашей темы линейного приближения, мы собираемся пойти с одной из самых известных и наиболее важных дифференциальных теорем в исчислении. Это теорема средней ценности. Обычно вы не понимаете, что это так важно, потому что это расплывчато, как его использовать в реальной жизни. Но результат все еще впечатляет, и на самом деле это новаторская вещь для средней теоремы исчисления, которую мы собираемся изучить дальше на пятой неделе, и все остальные на самом деле. Итак, давайте начнем с головоломки. Пазл здесь будет выглядеть следующим образом. Рассмотрим некоторую функцию f и сегмент от a до b, а не бесконечно мальное изменение аргумента от a к некоторой точке x, реальный сегмент, и значение здесь выглядит следующим образом. Предположим, что у нас есть аккорд между концами графика этого сегмента. Можете ли вы всегда найти линию касательной в какой-то точке сегмента, параллельного этому аккорду? Ну, давайте нарисуем некоторые основные силы иллюстрации, и на самом деле мы можем рассматривать это как теорему все это время. Итак, это наша функция f, обычно рисуется синим цветом. Вот аккорд, нарисованный пунктирным темно-красным цветом. Впечатляющий факт в том, что , очевидно, оранжевая линия касательной здесь не отвечена, но зеленая. Предполагая, что на самом деле мы понимаем, что всегда есть точка на этом отрезке с параллельной прямой касательной. Почему это так важно, что ты спрашиваешь? Это очевидный вопрос. Но давайте перейдем к формулам, чтобы повторить, чтобы понять это, потому что это на самом деле довольно впечатляет, если вы просто запишите его. Причина в том, что теорема означает, что всегда есть точка C на этом отрезке с параллельным аккордом. Что такое параллельность с точки зрения прямых линий? Это совпадение склонов. Для касательной линии уклон является атрибутивным в этой точке, который написан в нашей левой части, является производной f в точке C. В правой части мы записываем вниз наклон аккордов, который, как вы можете понять, является частью изменения функций между концами аккорда в сторону аргументов меняется по мере того, как длина аккорда. Что, если вы перепишете его в единственном числе? Это впечатляет, потому что что что записано? Это записано в точном уравнении. Это не случай нашего определения дифференцируемости, которое означает, что они каким-то образом линейны со стрелой, которая бесконечно мала. Здесь у нас есть другая вещь, которая является точным уравнением. Изменение функции точно пропорционально изменению аргумента, где пропорциональный коэффициент равен производной в какой-то момент без ошибок. Хитрость здесь заключается в том, что этот момент, этот пункт c может быть очень сложным и ошибочным, потому что мы не в состоянии найти его аналитически в любом случае. Но это приятно понимать, потому что если вы знаете, что функция связывает свою производную, например, она не идет выше пяти и ниже трех, вы знаете, что изменение вашей функции на всех возможных сегментах пропорционально изменению аргументов, с рекламными коэффициент, ограниченный двумя из этих чисел. Вы можете понять, как сильно меняются ваши функции на этом сегменте, и, что более важно, порядок изменения. Что хорошо, и это новаторская вещь, это средняя теорема исчисления, которая означает интеграционную теорему, и все остальное [неразборчиво]. Ну, давайте просто взглянем на эту красивую фотографию, и я увижу вас в следующих видео. Мы поговорим о производных более высокого порядка и о более сложных вещах, что тоже забавно.