Trong phần cuối cùng của chủ đề xấp xỉ tuyến tính của
chúng tôi, chúng ta sẽ đi với một trong những
định lý vi phân nổi tiếng nhất và quan trọng nhất trong giải tích.
Đó là định lý giá trị trung bình.
Thông thường, bạn không hiểu rằng nó rất quan trọng
bởi vì nó mơ hồ làm thế nào để sử dụng nó trong cuộc sống thực.
Nhưng kết quả vẫn ấn tượng,
và thực sự là điều đột phá cho
định lý giải tích trung bình mà chúng ta sẽ
nghiên cứu sâu hơn trong tuần thứ năm,
và tất cả những người khác trên thực tế.
Vì vậy, hãy bắt đầu với một câu đố.
Một câu đố ở đây sẽ là như sau.
Xem xét một số hàm f và một đoạn từ a đến b,
không vô hạn thay đổi của
đối số từ a đến một số điểm x,
một đoạn thực, và giá trị ở đây là như sau.
Giả sử ta có một hợp âm giữa các đầu
của đồ thị của đoạn này.
Bạn có thể luôn luôn tìm thấy đường tiếp tuyến
tại một điểm nào đó của một đoạn song song với hợp âm này không?
Vâng, chúng ta hãy vẽ một số lực minh họa cơ bản,
và thực ra chúng ta có thể xem nó như là một định lý tất cả.
Vì vậy, đây là hàm f của chúng tôi,
thường được vẽ bằng màu xanh lam.
Dưới đây là một hợp âm được vẽ bằng màu đỏ sẫm chấm.
Một thực tế ấn tượng là, okay,
rõ ràng, đường tiếp tuyến màu cam không được trả lời ở đây,
nhưng màu xanh lá cây là.
Giả sử, chúng ta thực sự hiểu rằng luôn luôn có
một số điểm trên đoạn này
với đường tiếp tuyến song song.
Vâng, tại sao nó là quan trọng như vậy bạn yêu cầu?
Đó là một câu hỏi rõ ràng ở đây.
Nhưng chúng ta hãy chuyển sang các công thức
để lặp lại để hiểu nó
bởi vì nó thực sự khá
ấn tượng nếu bạn chỉ cần viết nó ra.
Lý do là định lý đứng rằng
luôn có một điểm C tại đoạn này với một hợp âm song song.
Tính song song về đường thẳng là gì?
Đó là sự trùng khớp của các sườn dốc.
Đối với đường tiếp tuyến,
độ dốc là một thuộc tính tại thời điểm này,
được viết trong phần bên trái của chúng tôi,
là đạo hàm của f tại điểm C. Ở phần bên phải,
chúng tôi đang viết xuống độ dốc của các hợp âm, đó là,
như bạn có thể hiểu,
là một phần nhỏ của các chức năng thay đổi giữa các đầu
của hợp âm về phía các đối số
thay đổi như độ dài của hợp âm.
Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn viết lại nó trong một hình thức số ít?
Thật ấn tượng, bởi vì những gì được viết ra?
Nó được viết ra trong một phương trình chính xác.
Nó không phải là trường hợp của định nghĩa khác biệt của chúng ta,
mà là viết tắt của chúng
bằng cách nào đó tuyến tính với một mũi tên là vô hạn.
Ở đây, chúng ta có một thứ khác,
đó là một phương trình chính xác.
Sự thay đổi của hàm số
tỉ lệ chính xác với sự thay đổi của đối số,
trong đó hệ số tỉ lệ bằng với một đạo
hàm tại một số điểm mà không có bất kỳ lỗi nào.
Bí quyết ở đây là điểm này,
điểm c này có thể rất khó khăn,
và hướng dẫn sai lầm bởi vì chúng ta không có
sức mạnh của việc tìm kiếm nó một cách phân tích trong mọi trường hợp.
Nhưng nó là tốt đẹp để hiểu bởi vì nếu bạn biết rằng
bạn đang chức năng đã ràng buộc đạo hàm của nó, ví dụ,
nó không đi cao hơn năm và thấp hơn ba,
bạn biết rằng thay đổi chức năng của bạn trên
tất cả các phân đoạn có thể là
tỷ lệ thuận với lập luận thay đổi,
với quảng cáo hệ số bị giới hạn
bởi hai trong số những con số này.
Bạn có thể hiểu được
bao nhiêu chức năng của bạn thay đổi trên phân khúc này,
và quan trọng hơn, thứ tự thay đổi. Đó
là tốt đẹp, và nó là một điều đột phá,
nó là định lý giải tích trung bình
, viết tắt của định lý tích phân,
và tất cả các [không nghe được] khác.
Vâng, chúng ta hãy dành một chút thời gian
để nhìn vào bức tranh đẹp này,
và tôi sẽ thấy bạn trong các video tiếp theo.
Chúng ta sẽ nói về các dẫn xuất bậc cao
hơn và tất cả những thứ phức tạp hơn
, cũng buồn cười.