[SONIDO] Así que a medida que avanzamos con nuestra comprensión de la derivada y
la velocidad del cambio, a veces necesitamos asumir no sólo la velocidad
de cambio de una función, sino el cambio de velocidad de la derivada misma.
Y no te das cuenta de lo común que es este concepto en la vida real.
Voy a ir con dos ejemplos básicos.
En primer lugar, es un ejemplo de las tasas de inflación,
literalmente la velocidad de la inflación, la velocidad del cambio de los precios.
Y bueno, siempre oirás algo que algún político
promete que las tasas cambiarían más lentamente.
Él realmente habla de esta velocidad de cambio de la derivada.
Otro ejemplo es bastante moderno y bastante importante para nosotros.
Es un ejemplo del cambio climático.
Y, por ejemplo, tomemos el nivel del océano.
Existe un entendimiento común de que el nivel de los océanos aumenta en promedio.
No estoy hablando de lo que es un promedio aquí y cómo se calcula,
porque es un poco complicado y es respuestas estadísticas.
Mark Twain dijo que hay tres tipos de mentiras, mentiras, grandes mentiras y
estadísticas, y bueno, no vamos a sumergirnos en eso.
Pero de lo que vamos a hablar, vamos a hablar de
lo que en realidad es una comprensión del cambio climático global aquí.
Y el cambio climático global aquí, el calentamiento global aquí se presenta de la siguiente manera.
Entendemos que el nivel del océano sube y cae, bueno,
bastante a lo largo de la historia humana y toda la historia de las plantas.
Pero entonces la pregunta aquí es, ¿qué tan rápido es característico, y
cuál es la tendencia, cambia?
Bueno, porque si cambia, cuando estás, por ejemplo
, creciendo linealmente, no es gran cosa aquí, es algo común.
Pero si es, por ejemplo, cuadrático, más rápido que lineal,
extremadamente rápido que lineal, entonces es una gran diferencia y
tenemos que hacer algo con él.
Bueno alerta spoiler, tenemos que hacer algo con él.
Y bien, la definición matemática del calentamiento global
es la clase común de un derivado de un nivel oceánico.
¿ La velocidad de cambio del nivel del océano es lineal o más, más rápida que lineal?
Así que todas estas cosas preguntan, básicamente abordando la cuestión de este cambio de
la derivada de un derivado, la segunda derivada o la derivada de segundo orden.
En primer lugar, vamos a hacer una definición formal aquí.
Estamos considerando nuestra función real valorada f, y
asumimos que es diferenciable, y estamos teniendo algún punto dado a.
Y por lo tanto, la segunda derivada es básicamente la derivada de
una derivada como es un límite donde x se acerca a nuestro punto a dado,
de fracción de cambio de derivada hacia la etapa de discusión.
Bueno, eso es algo que en realidad no estás contento de ver,
porque es una definición, y como que odiamos todas las definiciones complejas aquí.
Pero bueno, funciona.
Bueno, en otras palabras, como dije antes, es solo un derivado
de la derivada, y es agradable y fácil de calcular aquí.
Por lo tanto, supongamos un ejemplo.
Bueno, antes que nada, comencemos con una función simple como x cuadrado y
lleguemos a una comprensión de la segunda derivada aquí.
Ahora la primera derivada aquí es, así es, la primera derivada es 2x.
Todos recuerdan eso, es agradable, y entonces tendremos que encontrar un álgebra aquí.
Y bueno, en realidad, no voy a preguntarte al respecto.
Es algo obvio aquí, son sólo 2, y todo el mundo lo sabe.
Así que consideremos ejemplos más complejos aquí como exponentes y función sinusoidal de x.
Bueno, en primer lugar, con exponente, eso es bastante fácil,
porque la derivada del exponente es exponente.
La segunda derivada es más o menos la misma cosa.
Puedes hacer cualquier cosa con un exponente tomando un derivado.
Y en cuanto a la función sinusoidal, es un poco complicado, pero aún así impresionantemente lo mismo.
Como es, la primera derivada de la función sinusoidal es la función coseno,
por lo tanto, la segunda derivada de la función
sinusoidal es la derivada de la función coseno, que es la función menos sinusoidal.
Así que resumimos aquí para llegar a un acuerdo.
En cuanto al exponente, la segunda derivada de la misma es la misma función, se mantiene quieto.
Pero en cuanto a la función sinusoidal, la segunda derivada es la función menos
sinusoidal, menos la función misma. Implica
que la función sinusoidal y los exponentes están conectados de alguna manera.
Y si estudias más análisis complejo o
simplemente teoremas de números complejos básicos, entenderás que
esta conexión es básicamente, o esta regla para números complejos.
Y por lo general se puede utilizar fácilmente introduciendo parte imaginaria y
números imaginarios en esta ecuación.
Así que avancemos más hacia la motivación de todo el trabajo que estamos
haciendo aquí con la segunda derivada.
[ SONIDO]