[SUONO] Così come procediamo ulteriormente con la nostra comprensione della derivata e
della velocità del cambiamento, a volte abbiamo bisogno di assumere non solo la velocità
di cambiamento di una funzione, ma il cambiamento di velocità della derivata stessa.
E non ti rendi conto di quanto sia comune questo concetto nella vita reale.
Ho intenzione di andare con due esempi di base.
Prima di tutto, è un esempio di tassi di inflazione,
letteralmente la velocità di inflazione, la velocità di cambiamento del cambiamento dei prezzi.
E beh, sentirete sempre qualcosa che alcuni politici
promettono che i tassi cambierebbero più lentamente.
In realtà parla di questa velocità di cambiamento della derivata.
Un altro esempio è abbastanza moderno e abbastanza importante per noi.
E' un esempio di cambiamento climatico.
E per esempio, prendiamo il livello dell'oceano.
C' è una comprensione comune che il livello dell'oceano aumenta in media.
Non sto parlando di ciò che è una media qui e di come viene calcolata,
perché è un po 'complicato ed è risposte statistiche.
Mark Twain ha detto che ci sono tre tipi di bugie, bugie, grandi bugie
e statistiche, e beh, non ci immergeremo in questo.
Ma quello di cui parleremo, parleremo di
ciò che è effettivamente una comprensione del cambiamento climatico globale qui.
E il cambiamento climatico globale qui, il riscaldamento globale qui è presentato come segue.
Sappiamo che il livello dell'oceano sale e scende, beh,
parecchio nella storia umana e in tutta la storia delle piante.
Ma poi la domanda qui è, quanto velocemente tipicamente, e
qual è la tendenza, cambia?
Beh, perché se cambia, quando stai
crescendo linearmente, non è un grosso problema qui, è una cosa comune.
Ma se è, ad esempio, quadratico, più veloce di lineare,
estremamente più veloce di lineare, allora è una grande differenza e
dobbiamo fare qualcosa con esso. Allarme
spoiler, dobbiamo farci qualcosa.
E beh, la definizione matematica del riscaldamento globale
è la classe comune di un derivato di un livello oceanico.
La velocità di cambiamento del livello dell'oceano è lineare o più, più veloce di lineare?
Quindi tutte queste cose chiedono, affrontando fondamentalmente la questione di questo cambiamento
della derivata di una derivata, la seconda derivata o la derivata di secondo ordine.
Prima di tutto, ci permette di fare qualche definizione formale qui.
Stiamo considerando la nostra funzione di valore reale f, e
supponiamo che sia differenziabile, e stiamo avendo qualche dato punto a.
E così la seconda derivata è fondamentalmente la derivata di
una derivata come è un limite dove x si avvicina il nostro dato punto a,
di frazione di cambiamento di derivata verso la fase di discussione.
Beh, questo è qualcosa che in realtà non sei contento di vedere,
perché è una definizione, e noi odiamo tutte le definizioni complesse qui.
Ma bene, funziona.
Bene, in altre parole, come ho detto prima, è solo una derivata
della derivata, ed è bello e facile da calcolare qui.
Quindi supponiamo qualche esempio.
Bene, prima di tutto, iniziamo con una semplice funzione come x al quadrato e
arriviamo ad una certa comprensione della seconda derivata qui.
Ora la prima derivata qui è, giusto, la prima derivata è 2x.
Lo ricordate tutti, e' bello, e poi dovremo trovare un'algebra qui.
E beh, a dire il vero, non ho intenzione di chiedertelo.
E' un po' ovvio qui, sono solo 2, e tutti lo sanno.
Quindi consideriamo esempi più complessi qui come esponenti e funzione sinusoidale di x.
Beh, in primo luogo, con esponente, è abbastanza facile,
perché la derivata dell'esponente è esponente.
La seconda derivata è praticamente la stessa cosa.
Puoi fare qualsiasi cosa con un esponente prendendo una derivata.
E per quanto riguarda la funzione sinusoidale, è un po 'complicato, ma ancora impressionante lo stesso. Così
com'è, la prima derivata della funzione sinusoidale è la funzione coseno,
quindi la seconda derivata della funzione sinusoidale è la derivata
della funzione coseno, che è meno funzione sinusoidale.
Quindi riassumiamo per un accordo qui.
Per quanto riguarda l'esponente, la seconda derivata di esso è la stessa funzione, rimane ferma.
Ma per quanto riguarda la funzione sinusoidale, la seconda derivata è meno funzione sinusoidale,
meno la funzione stessa.
È un po 'implicare che la funzione sinusoidale e gli esponenti sono collegati in qualche modo.
E se studi ulteriori analisi complesse o
solo teoremi di numeri complessi di base, capirai che
questa connessione è fondamentalmente, o questa regola per i numeri complessi.
E di solito può essere facilmente utilizzato introducendo parte immaginaria e
numeri immaginari in questa equazione.
Quindi muoviamoci ulteriormente verso la motivazione di tutto il lavoro che stiamo
facendo qui con la seconda derivata.
[ SUONO]