[SOM] Então, à medida que prosseguimos com nossa compreensão
de derivada e velocidade de mudança, às vezes precisamos assumir não apenas a velocidade
de mudança de uma função, mas a mudança de velocidade da própria derivada.
E você realmente não percebe o quão comum esse conceito é na vida real.
Vou dar dois exemplos básicos.
Primeiro de tudo, é um exemplo de taxas de inflação,
literalmente a velocidade da inflação, a velocidade de mudança de preço.
E bem, você sempre ouvirá algo que um político
promete que as taxas mudariam mais devagar.
Ele realmente fala sobre essa velocidade de mudança da derivada.
Outro exemplo é bastante moderno e muito importante para nós.
É um exemplo de mudança climática.
E, por exemplo, vamos tomar o nível do oceano.
Há um entendimento comum de que o nível do oceano em média sobe.
Eu não estou falando sobre o que é uma média aqui e como
ela é calculada, porque é meio complicado e é respostas estatísticas.
Mark Twain disse que há três tipos de mentiras, mentiras, grandes mentiras e
estatísticas, e bem, nós não vamos mergulhar nisso.
Mas do que vamos falar, vamos falar sobre
o que é realmente uma compreensão da mudança climática global aqui.
E a mudança climática global aqui, aquecimento global aqui é apresentada da seguinte forma.
Nós entendemos que o nível do oceano sobe e cai, bem,
bastante ao longo da história humana e toda a história da planta.
Mas então a questão aqui é, quão rápido caracteristicamente, e
qual é a tendência, ele muda?
Bem, porque se mudar, quando você está, por exemplo
, crescendo linearmente, não é grande coisa aqui, é algo comum.
Mas se for, por exemplo, quadrático, mais rápido do que linear,
extremamente mais rápido do que linear, então é uma grande diferença e
precisamos fazer algo com isso.
Alerta de spoiler, precisamos fazer algo com ele.
E bem, a definição matemática de aquecimento global
é a classe comum de uma derivada de um nível oceânico.
A velocidade de mudança do nível do oceano é linear ou mais, mais rápida do que linear?
Então todas essas coisas perguntam, basicamente abordando a questão dessa mudança
da derivada de uma derivada, a segunda derivada ou a derivada de segunda ordem.
Primeiro de tudo, vamos fazer alguma definição formal aqui.
Estamos considerando nossa função de valor real f, e
assumimos que é diferenciável, e estamos tendo algum dado ponto a.
E assim a segunda derivada é basicamente a derivada de uma derivada
como é um limite onde x se aproxima do nosso ponto dado a,
de fração de mudança de derivada em direção à fase de discussão.
Bem, isso é algo que você realmente não está feliz em ver,
porque é uma definição, e nós meio que odiamos todas as definições complexas aqui.
Mas bem, funciona.
Bem, em outras palavras, como eu disse anteriormente, é apenas um derivado
da derivada, e é bom e fácil de calcular aqui.
Então vamos assumir algum exemplo.
Bem, primeiro de tudo, vamos começar com uma função simples como x ao quadrado e
chegar a algum entendimento da segunda derivada aqui.
Agora a primeira derivada aqui é, isso mesmo, a primeira derivada é 2x.
Vocês todos se lembram disso, é bom, e então precisaremos encontrar uma álgebra aqui.
E bem, na verdade, eu não vou perguntar a você sobre isso.
É meio óbvio aqui, são apenas 2, e todo mundo sabe disso.
Então vamos considerar exemplos mais complexos aqui como expoentes e função seno de x.
bem em primeiro lugar, com expoente, isso é bastante fácil,
porque a derivada do expoente é expoente.
A segunda derivada é praticamente a mesma coisa.
Você pode fazer qualquer coisa com um expoente tomando um derivado.
E quanto à função senoidal, é um pouco complicado, mas ainda impressionantemente o mesmo.
Como é, a primeira derivada da função seno é a função
cosseno, portanto, a segunda derivada da função seno é a derivada
da função cosseno, que é a função menos seno.
Então vamos resumir para acordo aqui.
Quanto ao expoente, a segunda derivada é a mesma função, mantém-se imóvel.
Mas quanto à função seno, a segunda derivada é menos função seno,
menos a função em si.
Está sugerindo que a função seno e expoentes estão conectados de alguma forma.
E se você estudar mais análises complexas ou
apenas teoremas básicos de números complexos, você entenderá que
essa conexão é basicamente, ou essa regra para números complexos.
E pode ser facilmente usado introduzindo parte imaginária e
números imaginários nesta equação.
Então vamos avançar em direção à motivação de todo o trabalho que estamos
fazendo aqui com a segunda derivada.
[ SOM]