Willkommen bei der Optimization 101.
Wir müssen verstehen, wonach wir suchen
und wie wir es charakterisieren können.
Der erste Start ist das
Verständnis dessen, was
Extremapunkt oder Extremum genannt wird.
Zunächst einmal müssen Sie verstehen, dass
es ein [unhörbares] vorne ist,
also ist es Plural Extrema,
und wir werden damit lernen.
Punkt zum Beispiel A,
wird ein lokales Extremum der Funktion F genannt,
wenn es am größten über dem niedrigsten tatsächlich ist.
Ein Wert in einigen Nachbarschaften von ist ein guter Punkt.
Sie sollten sorgfältig verstehen, dass
diese Definition tatsächlich aussieht,
wenn es irgendwelche Nachbarschaften gibt
, die unsere
Nachfrage nach dem größten oder niedrigsten Wert befriedigt.
Sie müssen also nicht für jeden drücken oder
irgendwie nicht weniger als einen Wert gehen.
Nur jede Nachbarschaft wird ausreichen.
Lassen Sie uns nur einen Blick auf das gebräuchlichste Beispiel werfen.
Ich habe
hier nur ein kubisches Polynom genommen, um einige grundlegende Fälle zu repräsentieren.
Also, was wir hier haben, sind drei Punkte A,
B, C, und lassen Sie uns verstehen.
Erstens ist Punkt A
ein lokales Extrema, weil es
zum Beispiel in dieser Nachbarschaft der größte Wert ist.
Punkt B ist ein lokales Extremum, da
es sich um den niedrigsten Wert in dieser Nachbarschaft handelt.
Punkt A wird als lokales Maximum bezeichnet,
und Punkt B wird als lokales Minimum bezeichnet,
und Punkt C ist weder ein minimales noch ein maximales Extrema.
Denn was auch immer wir
hier die nächste Nachbarschaft nennen,
was auch immer wir als
dieser quadratische Rahmen auf der linken Seite vom Punkt C tun
werden, werden wir größere Werte als der Punkt C bekommen,
und auf der rechten Seite
werden wir niedrigere Werte als
der Punkt C bekommen. Es ist also überhaupt kein Extremum.
Ich werde ziemlich viel für diese Grafik ausgeben,
weil Sie hier einen wichtigen Unterschied sehen müssen.
Ich spreche nicht von globalem Extrema,
den größten Werten und den niedrigsten Werten von allen.
Die Sache hier ist, dass es Zeiten gibt, die
Sie erwähnen können, dass lokale maximale und lokale Minimum,
nicht notwendigerweise bedeutet, dass der Punkt, der
Maximum genannt wird, notwendigerweise
größer als Punkt ist, der Minimum genannt wird.
Da alle Punkte lokal genannt werden, ist
ihre Beziehung
untereinander nicht wirklich definiert.
Stellen Sie sich eine Art von diesem Diagramm vor,
genau wie extrem lange Treppen wie Kurve.
Nun, lassen Sie uns hier ein paar Maximas und Minimas markieren.
Also dieser Punkt ist eigentlich,
lassen Sie mich einfach eine rote Farbe nehmen.
Das ist ein Maximum, das ist Minimum,
und das ist ein Maximum,
das ist ein Minimum. Das ist ein Ärger.
Wir haben Maximum und wir haben Minimum,
und Minimum ist tatsächlich größer als Maximum.
Das ist der Fall. Das ist es, worüber wir reden.
All diese Dinge sind lokal.
Wir können
hier keine Schlußfolgerungen nur durch sein Maximum und Minimum ableiten.
Das ist eigentlich traurig,
aber es ist nur der Fall.
Also, was wir hier tun werden, ist, dass
wir verstehen werden,
wie es mit Derivaten verbunden ist.
Um zu verstehen, wie es mit den Derivaten verbunden ist,
werden wir uns nur auf unseren Mittelwertsatz beziehen.
Wie Sie sich erinnern,
sagte der Mittelwertsatz uns, dass die Änderung
einer Funktion proportional zur
Ableitung und zur Änderung des Arguments ist.
Also, wenn zum Beispiel
unsere Ableitung positiv
für das gesamte Segment oder negativ für das gesamte Segment ist,
ändert sich die Funktion monotonisch in diesem Segment.
Wenn die Ableitung positiv ist,
dann wird die Funktion monotonisch wächst,
und wenn die Ableitung negativ ist,
dann fällt die Funktion monotonisch.
Infolgedessen
müssen wir die Verbindung
zwischen Extremum und Derivat verstehen.
Um dies zu tun, müssen wir unseren Mittelwert Satz erinnern,
weil es steht für die Änderung der Funktion ist
proportional zu der Änderung des
Arguments und seiner Ableitung,
wie Sie annehmen, dass Ableitung
positiv oder negativ auf alle Segmente ist.
Dann erhalten Sie notwendigerweise
eine positive oder negative Änderung der Funktion.
Mit anderen Worten, das Vorzeichen
der Ableitung ist positiv oder negativ,
steht für die Monotonie der Funktion.
Es scheint, dass die Monotonizität der Funktion für uns von entscheidender Bedeutung ist.
Denn lassen Sie uns zum Beispiel annehmen,
bis zum Punkt A auf
der linken Seite gehen wir auf
die rechte Seite,
in der wir eine Funktion hinzufügen, die wir betrachten.
Das Derivat hat also einen Punkt A
kann weder positiv noch negativ sein,
da es notwendigerweise gleich Null sein sollte.
Diese Art von Notwendigkeit Fall für Extremitäten.
Die Regel sieht hier wie folgt aus,
wenn Funktion an einem
bestimmten Punkt ein Extremum hat und als gegebenen Punkt differenzierbar ist,
dann ist die Ableitung hier gleich Null.
Okay, das ist verständlich.
Aber wie kommt es, dass es
hier mit Konvexität als zweites Derivat verbunden ist?
Um dies zu verstehen,
müssen wir weiter gehen und verstehen,
wie dieses Derivat mit Konvexität verbunden ist.