Bienvenido a la Optimización 101.
Tenemos que entender lo que estamos buscando
y cómo podemos caracterizarlo.
El primer comienzo es
la comprensión de lo que se
llama punto extremo o extremo.
En primer lugar, hay que entender que
es un frente [inaudible],
por lo que es plural es extremo,
y vamos a aprender con él.
Punto, por ejemplo, A,
se llama un extremo local de la función F,
si es mayor sobre el más bajo en realidad.
Un valor en algunos barrios de es un buen punto.
Usted debe entender cuidadosamente que,
esta definición realmente se ve
si hay algún vecindario
que satisfaga nuestra
demanda de mayor o menor valor.
Así que no necesita presionar para cada o de
alguna manera no va menos que algún valor.
Cualquier vecindario será suficiente.
Vamos a echar un vistazo al ejemplo más común.
He tomado sólo un polinom cúbico
aquí para representar algunos casos básicos.
Así que lo que sí tenemos aquí son tres puntos A,
B, C, y vamos a entender.
En primer lugar, el punto
A es un extremo local porque es
el mayor valor, por ejemplo, en este barrio. El
punto B es un extremo local porque
es el valor más bajo de este barrio. El
punto A se denomina máximo local,
y el punto B se llama mínimo local,
y el punto C no es ni un extremo mínimo ni máximo.
Porque lo que sea que
llamemos el vecindario más cercano aquí,
lo que sea que vamos a hacer como
este marco cuadrado en el lado izquierdo desde el punto C,
vamos a obtener valores mayores que el punto C,
y en el lado derecho,
vamos a obtener valores más bajos que
el punto C. Así que no es un extremo en absoluto.
Voy a gastar un poco en este gráfico,
porque necesitas ver una diferencia clave aquí.
No estoy hablando de extrema global,
los valores más grandes y los valores más bajos de todos.
La cosa aquí es que hay momentos en los que se
puede mencionar que el máximo local y el mínimo local,
no necesariamente significa que el punto que se
llama máximo es necesariamente
mayor que el punto que se llama mínimo.
Dado que todos los puntos se llaman locales,
su relación entre
sí no está realmente definida.
Imagínese algún tipo de gráfico, al
igual que las escaleras extremadamente largas como la curva.
Bueno, vamos a marcar algunas máximas y mínimas aquí.
Así que este punto es en realidad,
déjame tomar un color rojo.
Eso es un máximo, eso es mínimo,
y eso es un máximo,
eso es un mínimo. Eso es un problema.
Tenemos el máximo y tenemos el mínimo,
y el mínimo es en realidad mayor que el máximo.
Ese es el caso. Eso es de lo que estamos hablando.
Todas estas cosas son locales.
No podemos sacar conclusiones sólo
por su máximo y mínimo.
Eso es realmente triste,
pero es sólo el caso.
Así que lo que vamos a hacer aquí es,
vamos a entender
cómo se conecta con los derivados.
Para entender cómo está conectado a los derivados,
vamos a relacionarnos con nuestro teorema del valor medio.
Como usted recuerda,
el teorema del valor medio nos dijo que el cambio
de una función es proporcional a
la derivada y al cambio del argumento.
Así que en caso, por ejemplo,
nuestra derivada es positiva
para todo el segmento o negativa para todo el segmento, la
función cambia monóticamente en este segmento.
Si la derivada es positiva,
entonces la función crece monóticamente,
y si la derivada es negativa,
entonces la función cae monotónicamente.
Por lo tanto,
tenemos que entender la conexión
entre extremum y derivado.
Para ello necesitamos recordar nuestro teorema del valor medio,
ya que representa el cambio de función es
proporcional al cambio de
argumento y su derivada,
ya que se supone que la derivada es
positiva o negativa en todo el segmento.
Entonces necesariamente obtienes un
cambio positivo o negativo de función.
En otras palabras, el signo
de la derivada es positivo o negativo,
representa la monotonicidad de la función.
Parece que la monotonicidad de la función es crucial para nosotros.
Porque supongamos, por ejemplo,
que al punto A
del lado izquierdo vamos hacia
el lado derecho estamos cayendo,
en el que añadimos una función que estamos considerando.
Por lo tanto, la derivada tiene un punto A
no puede ser positiva o negativa,
ya que necesariamente debe ser igual a cero.
Este tipo de caso de necesidad para los extremos.
La regla aquí se ve de la siguiente manera,
si la función tiene
un extremo en un punto dado y es diferenciable como un punto dado,
entonces la derivada aquí es igual a cero.
Vale, eso es comprensible.
Pero, ¿cómo es que está
conectado con la convexidad como un segundo derivado aquí?
Para entender esto,
necesitamos avanzar más y entender
cómo esta derivada está conectada con la convexidad.