Bienvenue sur l'Optimisation 101.
Nous devons comprendre ce que nous recherchons
et comment nous pouvons le caractériser.
Le premier départ est la
compréhension de ce qu'
on appelle le point d'extrêma ou l'extrémité.
Tout d'abord, vous devez comprendre que
c'est un [inaudible] devant,
donc c'est pluriel est extrema,
et nous allons apprendre avec elle.
Point par exemple A,
est appelé un extrémité locale de la fonction F,
s'il est plus grand sur le plus bas réellement.
Une valeur dans certains quartiers de est un bon point.
Vous devriez bien comprendre que,
cette définition regarde en fait
s'il y a des quartiers
qui satisfont notre demande
pour la plus grande ou la plus faible valeur.
Donc, vous n'avez pas besoin de pousser pour chaque ou
en quelque sorte pas aller moins qu'une certaine valeur.
Juste n'importe quel quartier suffira.
Jetons simplement un coup d'oeil à l'exemple le plus commun.
J' ai pris juste un polynom cubique
pour représenter quelques cas de base.
Donc, ce que nous avons ici, c'est trois points A
, B, C, et comprenons.
Tout d'abord, le point
A est un extrema local parce qu'il est
la plus grande valeur par exemple, dans ce quartier. Le
point B est un extreum local car
il s'agit de la valeur la plus basse de ce voisinage. Le
point A est appelé maximum local,
et le point B est appelé minimum local,
et le point C n'est ni un extrême minimum ni maximum.
Parce que peu importe ce que nous
appelons le quartier le plus proche ici,
quoi que nous allons faire comme
ce cadre carré sur le côté gauche
à partir du point C, nous allons obtenir des valeurs plus grandes que
le point C, et du côté droit,
nous allons obtenir des valeurs inférieures
au point C. Donc, ce n'est pas un extreum du tout.
Je vais passer un peu sur ce graphique,
parce que vous avez besoin de voir une différence clé ici.
Je ne parle pas des extrêmes globaux,
des plus grandes valeurs et des valeurs les plus basses de toutes.
La chose ici est qu'il y a des moments où
vous pouvez mentionner que le maximum local et le minimum local,
ne signifie pas nécessairement que le point qui est
appelé maximum est nécessairement
supérieur au point qui est appelé minimum.
Puisque tous les points sont appelés locaux,
leur relation entre
eux n'est pas réellement définie.
Imaginez une sorte de graphique,
comme des escaliers très longs comme une courbe.
Eh bien, laissez-nous juste marquer quelques maximas et minimas ici.
Donc, ce point est en fait,
laissez-moi juste prendre une couleur rouge.
C' est un maximum, c'est un minimum,
et c'est un maximum,
c'est un minimum. C'est un problème.
Nous avons le maximum et nous avons le minimum,
et le minimum est en fait supérieur au maximum.
C' est le cas. C'est de ça que nous parlons.
Toutes ces choses sont locales.
Nous ne pouvons tirer de conclusions que
par son maximum et son minimum ici.
C' est triste,
mais c'est juste le cas.
Donc, ce que nous allons faire ici, c'est que
nous allons comprendre
comment il est lié aux dérivés.
Pour comprendre comment il est lié aux dérivés,
nous allons simplement nous rapporter à notre théorème de valeur moyenne.
Comme vous vous souvenez, le
théorème de la valeur moyenne nous a dit que le changement
d'une fonction est proportionnel à
la dérivée et au changement de l'argument.
Ainsi, dans le cas par exemple,
notre dérivé est positif
pour tout le segment ou négatif pour tout le segment, la
fonction change de façon monotone sur ce segment.
Si dérivé est positif,
alors la fonction augmente monotoniquement,
et si dérivé est négatif
alors la fonction diminue monotoniquement.
Par conséquent,
nous devons comprendre le lien
entre l'extreum et le dérivé.
Pour ce faire, nous devons nous souvenir de notre théorème de valeur moyenne,
car il signifie que le changement de fonction est
proportionnel au changement d'
argument et de son dérivé,
comme vous supposez que dérivé est
positif ou négatif sur tout le segment.
Ensuite, vous obtenez nécessairement un
changement de fonction positif ou négatif.
En d'autres termes, le signe
du dérivé est positif ou négatif,
représente la monotonicité de la fonction.
Il semble que la monotonicité de la fonction soit cruciale pour nous.
Parce que supposons par exemple,
au point A
du côté gauche, nous allons à
droite, nous tombons,
dans lequel nous ajoutons une fonction que nous envisageons.
Donc dérivé a un point A
ne peut pas être positif ou négatif,
car il est nécessairement égal à zéro.
Ce genre de cas de nécessité pour les extrémités.
La règle ici ressemble comme suit,
si la fonction a un extreum à
un point donné et est différenciable comme un point donné,
alors le dérivé ici est égal à zéro.
Ok, c'est compréhensible.
Mais comment se fait-il qu'il soit
lié à la convexité comme deuxième dérivé ici ?
Pour comprendre cela,
nous devons aller plus loin et comprendre
comment ce dérivé est lié à la convexité.