Benvenuti nell'Ottimizzazione 101.
Dobbiamo capire cosa stiamo cercando
e come possiamo caratterizzarlo.
Il primo inizio è
la comprensione di ciò che viene
chiamato extrema point o extremum.
Prima di tutto, devi capire che
è un [inudibile] davanti,
quindi è plurale è extrema,
e impareremo con esso.
Punto per esempio A,
è chiamato un estremo locale della funzione F,
se è più grande sopra il più basso effettivamente.
Un valore in alcuni quartieri di è un buon punto.
Dovresti capire attentamente che,
questa definizione sembra in realtà
se ci sono quartieri
che soddisfano la nostra richiesta
per il valore più grande o il più basso.
Quindi non è necessario spingere per ogni o
in qualche modo non andare meno di un certo valore.
Solo qualsiasi quartiere sarà sufficiente.
Diamo solo un'occhiata all'esempio più comune.
Ho preso solo un polinoma cubico
qui per rappresentare alcuni casi basilari.
Quindi quello che abbiamo qui sono tre punti A,
B, C, e cerchiamo di capire.
In primo luogo, il punto
A è un extrema locale perché è
il più grande valore per esempio, in questo quartiere. Il
punto B è un estremo locale
perché è il valore più basso in questo quartiere. Il
punto A è chiamato massimo locale,
e il punto B è chiamato minimo locale,
e il punto C non è né un extrema minimo o massimo.
Perché qualunque cosa
chiamiamo il quartiere più vicino qui,
qualunque cosa faremo come
questa cornice quadrata sul lato sinistro dal punto C,
otterremo valori maggiori rispetto
al punto C, e sul lato destro
otterremo valori inferiori rispetto
al punto C. Quindi non è affatto un estremo.
Ho intenzione di spendere un po 'su questo grafico,
perché è necessario vedere una differenza chiave qui.
Non parlo dell'extrema globale,
dei valori più grandi e dei valori più bassi di tutti.
Il fatto qui è che ci sono momenti in cui
puoi menzionare che il massimo locale e il minimo locale,
non significa necessariamente che il punto che
viene chiamato massimo sia necessariamente
maggiore del punto chiamato minimo.
Poiché tutti i punti sono chiamati locali,
la loro relazione
tra loro non è effettivamente definita.
Immagina una specie di questo grafico,
proprio come scale estremamente lunghe come curve.
Bene, segnaliamo solo alcune massime e minime qui.
Quindi questo punto è in realtà,
lasciatemi prendere un colore rosso.
Questo è un massimo, questo è minimo,
e questo è un massimo,
questo è un minimo. Questo è un guaio.
Abbiamo il massimo e abbiamo il minimo,
e il minimo è in realtà maggiore del massimo.
Questo è il caso. E' di questo che stiamo parlando.
Tutte queste cose sono locali.
Non possiamo trarre conclusioni solo
dal suo massimo e minimo.
In realta' e' triste,
ma e' solo il caso.
Quindi quello che stiamo per fare qui è,
stiamo andando a capire
come è collegato con i derivati.
Per capire come è collegato ai derivati,
ci accingiamo a relazionarci al nostro teorema di valore medio.
Come ricorderete,
il teorema del valore medio ci ha detto che il cambiamento
di una funzione è proporzionale
alla derivata e al cambiamento dell'argomento.
Quindi, nel caso, ad esempio,
il nostro derivato è positivo
per tutto il segmento o negativo per tutto il segmento, la
funzione cambia monotonicamente su questo segmento.
Se la derivata è positiva
allora la funzione cresce monotonicamente,
e se la derivata è negativa
allora la funzione cade monotonicamente.
Quindi, di conseguenza,
dobbiamo capire la connessione
tra estremo e derivato.
Per fare ciò abbiamo bisogno di ricordare il nostro teorema di valore medio,
perché sta per il cambiamento di funzione è
proporzionale al cambiamento di
argomento e la sua derivata,
come si suppone che derivata sia
positiva o negativa su tutto il segmento.
Quindi ottieni necessariamente un
cambiamento positivo o negativo di funzione.
In altre parole, il segno
della derivata è positivo o negativo,
sta per la monotonicità della funzione.
Sembra che la monotonicità della funzione sia cruciale per noi.
Perché supponiamo per esempio,
al punto A
sul lato sinistro stiamo andando verso
il lato destro stiamo cadendo,
in cui aggiungiamo una funzione che stiamo considerando.
Quindi derivato ha un punto A
non può essere né positivo né negativo,
poiché è necessariamente uguale a zero.
Questo tipo di caso di necessità per gli estremi.
La regola qui appare come segue,
se la funzione ha un estremo in
un dato punto ed è differenziabile come un dato punto,
allora la derivata qui è uguale a zero.
Ok, e' comprensibile.
Ma come mai è
collegato alla convessità come seconda derivata qui?
Per capire questo,
dobbiamo andare oltre e capire
come questo derivato è collegato alla convessità.