Benvenuti nell'Ottimizzazione 101. Dobbiamo capire cosa stiamo cercando e come possiamo caratterizzarlo. Il primo inizio è la comprensione di ciò che viene chiamato extrema point o extremum. Prima di tutto, devi capire che è un [inudibile] davanti, quindi è plurale è extrema, e impareremo con esso. Punto per esempio A, è chiamato un estremo locale della funzione F, se è più grande sopra il più basso effettivamente. Un valore in alcuni quartieri di è un buon punto. Dovresti capire attentamente che, questa definizione sembra in realtà se ci sono quartieri che soddisfano la nostra richiesta per il valore più grande o il più basso. Quindi non è necessario spingere per ogni o in qualche modo non andare meno di un certo valore. Solo qualsiasi quartiere sarà sufficiente. Diamo solo un'occhiata all'esempio più comune. Ho preso solo un polinoma cubico qui per rappresentare alcuni casi basilari. Quindi quello che abbiamo qui sono tre punti A, B, C, e cerchiamo di capire. In primo luogo, il punto A è un extrema locale perché è il più grande valore per esempio, in questo quartiere. Il punto B è un estremo locale perché è il valore più basso in questo quartiere. Il punto A è chiamato massimo locale, e il punto B è chiamato minimo locale, e il punto C non è né un extrema minimo o massimo. Perché qualunque cosa chiamiamo il quartiere più vicino qui, qualunque cosa faremo come questa cornice quadrata sul lato sinistro dal punto C, otterremo valori maggiori rispetto al punto C, e sul lato destro otterremo valori inferiori rispetto al punto C. Quindi non è affatto un estremo. Ho intenzione di spendere un po 'su questo grafico, perché è necessario vedere una differenza chiave qui. Non parlo dell'extrema globale, dei valori più grandi e dei valori più bassi di tutti. Il fatto qui è che ci sono momenti in cui puoi menzionare che il massimo locale e il minimo locale, non significa necessariamente che il punto che viene chiamato massimo sia necessariamente maggiore del punto chiamato minimo. Poiché tutti i punti sono chiamati locali, la loro relazione tra loro non è effettivamente definita. Immagina una specie di questo grafico, proprio come scale estremamente lunghe come curve. Bene, segnaliamo solo alcune massime e minime qui. Quindi questo punto è in realtà, lasciatemi prendere un colore rosso. Questo è un massimo, questo è minimo, e questo è un massimo, questo è un minimo. Questo è un guaio. Abbiamo il massimo e abbiamo il minimo, e il minimo è in realtà maggiore del massimo. Questo è il caso. E' di questo che stiamo parlando. Tutte queste cose sono locali. Non possiamo trarre conclusioni solo dal suo massimo e minimo. In realta' e' triste, ma e' solo il caso. Quindi quello che stiamo per fare qui è, stiamo andando a capire come è collegato con i derivati. Per capire come è collegato ai derivati, ci accingiamo a relazionarci al nostro teorema di valore medio. Come ricorderete, il teorema del valore medio ci ha detto che il cambiamento di una funzione è proporzionale alla derivata e al cambiamento dell'argomento. Quindi, nel caso, ad esempio, il nostro derivato è positivo per tutto il segmento o negativo per tutto il segmento, la funzione cambia monotonicamente su questo segmento. Se la derivata è positiva allora la funzione cresce monotonicamente, e se la derivata è negativa allora la funzione cade monotonicamente. Quindi, di conseguenza, dobbiamo capire la connessione tra estremo e derivato. Per fare ciò abbiamo bisogno di ricordare il nostro teorema di valore medio, perché sta per il cambiamento di funzione è proporzionale al cambiamento di argomento e la sua derivata, come si suppone che derivata sia positiva o negativa su tutto il segmento. Quindi ottieni necessariamente un cambiamento positivo o negativo di funzione. In altre parole, il segno della derivata è positivo o negativo, sta per la monotonicità della funzione. Sembra che la monotonicità della funzione sia cruciale per noi. Perché supponiamo per esempio, al punto A sul lato sinistro stiamo andando verso il lato destro stiamo cadendo, in cui aggiungiamo una funzione che stiamo considerando. Quindi derivato ha un punto A non può essere né positivo né negativo, poiché è necessariamente uguale a zero. Questo tipo di caso di necessità per gli estremi. La regola qui appare come segue, se la funzione ha un estremo in un dato punto ed è differenziabile come un dato punto, allora la derivata qui è uguale a zero. Ok, e' comprensibile. Ma come mai è collegato alla convessità come seconda derivata qui? Per capire questo, dobbiamo andare oltre e capire come questo derivato è collegato alla convessità.