Bem-vindo ao 101 de Otimização.
Precisamos entender o que estamos procurando
e como podemos caracterizá-lo.
O primeiro começo é a
compreensão do que é
chamado de ponto extremo ou extremo.
Primeiro de tudo, você precisa entender que
é um [inaudível] na frente,
então é plural é extremo,
e nós vamos aprender com ele.
Ponto, por exemplo,
A, é chamado um extremo local da função F,
se ele é maior sobre o mais baixo realmente.
Um valor em alguns bairros de é um bom ponto.
Você deve entender cuidadosamente que,
esta definição realmente olha
se há algum bairro
que satisfaça nossa demanda
para o maior ou o menor valor.
Então você não precisa empurrar para cada ou de
alguma forma não estar indo menos do que algum valor.
Qualquer bairro será suficiente.
Vamos apenas dar uma olhada no exemplo mais comum.
Eu tomei apenas um polinoma cúbico
aqui para representar alguns casos básicos.
Então o que temos aqui são três pontos A,
B, C, e deixe-nos entender.
Em primeiro lugar, o ponto A é
uma extrema local porque é
o maior valor, por exemplo, neste bairro. O
ponto B é um extremo local porque
é o menor valor nesta vizinhança. O
ponto A é chamado de máximo local,
e o ponto B é chamado de mínimo local,
e o ponto C não é nem uma extremidade mínima ou máxima.
Porque o que estamos
chamando de bairro mais próximo aqui,
o que quer que vamos fazer como
este quadro quadrado no lado esquerdo do ponto C,
vamos obter valores maiores do que o ponto C,
e no lado direito,
vamos obter valores mais baixos do que
o ponto C. Então não é um extremo.
Eu vou gastar um pouco neste gráfico,
porque você precisa ver uma diferença chave aqui.
Não estou falando de extrema global,
os maiores valores e valores mais baixos de todos.
A coisa aqui é que há momentos em que
você pode mencionar que o máximo local e mínimo local,
não significa necessariamente que o ponto que é
chamado máximo é necessariamente
maior do que o ponto que é chamado mínimo.
Uma vez que todos os pontos são chamados de locais,
sua relação entre
si não é realmente definida.
Imagine algum tipo de gráfico,
como escadas extremamente longas como curva.
Bem, vamos apenas marcar algumas máximas e mínimas aqui.
Então este ponto é, na verdade,
deixe-me pegar uma cor vermelha.
Isso é um máximo, isso é mínimo,
e isso é um máximo,
isso é um mínimo. Isso é um problema.
Temos máximo e temos mínimo,
e mínimo é realmente maior do que o máximo.
Esse é o caso. É disso que estamos falando.
Todas essas coisas são locais.
Não podemos tirar quaisquer conclusões apenas
pelo seu máximo e mínimo aqui.
Na verdade, é triste,
mas é só o caso.
Então o que vamos fazer aqui é,
vamos entender
como ele está conectado com derivativos.
Para entender como ele está conectado aos derivados,
vamos apenas nos relacionar com o nosso teorema do valor médio.
Como você se lembra,
o teorema do valor médio nos disse que a mudança
de uma função é proporcional
à derivada e à mudança do argumento.
Assim, no caso, por exemplo,
nossa derivada é positiva
para todo o segmento ou negativa para todo o segmento, a
função muda monotonicamente neste segmento.
Se derivada é positiva,
então a função monotonicamente cresce,
e se derivada é negativa
, então a função cai monotonicamente.
Então, como resultado,
precisamos entender a conexão
entre extremo e derivado.
Para fazer isso precisamos lembrar nosso teorema do valor médio,
porque ele representa a mudança de função é
proporcional à mudança de
argumento e sua derivada,
como você assume que derivada é
positiva ou negativa em todo o segmento.
Então você necessariamente obtém
uma mudança positiva ou negativa de função.
Em outras palavras, o sinal
da derivada é positivo ou negativo,
significa a monotonicidade da função.
Parece que a monotonicidade da função é crucial para nós.
Porque vamos supor, por exemplo,
para o ponto
A para o lado esquerdo estamos indo para
o lado direito estamos caindo,
em que adicionamos uma função que estamos considerando.
Então derivada tem um ponto A
não pode ser positivo ou negativo, uma
vez que é necessariamente deve ser igual a zero.
Este tipo de necessidade para extremos.
A regra aqui tem a seguinte aparência,
se a função tem um extremo em
um determinado ponto e é diferenciável como um dado ponto,
então a derivada aqui é igual a zero.
Ok, isso é compreensível.
Mas como é que ele está
conectado com a convexidade como um segundo derivado aqui?
Para entender isso,
precisamos avançar e entender
como essa derivada está conectada à convexidade.