Добро пожаловать на оптимизацию 101.
Нам нужно понять, что мы ищем
и как мы можем его охарактеризовать.
Первый старт —
понимание того, что
называется экстремумом или экстремумом.
Прежде всего, вы должны понять, что
это [неразборчиво] перед,
так что это множественное число - это экстремума,
и мы будем учиться с этим.
Точка, например A,
называется локальным экстремумом функции F,
если он наибольший над самым низким на самом деле.
Значение в некоторых районах является хорошей точкой.
Вы должны внимательно понимать, что,
это определение на самом деле выглядит,
если есть какие-либо районы
, которые удовлетворяют наш
спрос на наибольшее или наименьшее значение.
Таким образом, вам не нужно нажимать на каждый или
каким-то образом не будет меньше, чем какая-то ценность.
Просто любого района будет достаточно.
Давайте просто посмотрим на наиболее распространенный пример.
Я взял только кубический полином
здесь, чтобы представить некоторые основные случаи.
Итак, что у нас здесь есть три точки A,
B, C, и давайте поймем.
Во-первых, точка
А является локальной экстремумой, потому что это
наибольшая ценность, например, в этом районе.
Точка B является локальным экстремумом
, так как это наименьшее значение в этой окрестности.
Точка A называется локальным максимумом,
а точка B называется локальным минимумом,
а точка C не является ни минимальным, ни максимальным экстремумом.
Потому что, что бы мы
ни называли ближайший район здесь, что бы мы ни делали, как
этот квадратный кадр на левой стороне от точки C,
мы собираемся получить больше значений, чем точка C,
и с правой стороны,
мы собираемся получить более низкие значения, чем
точка C. Так что это совсем не экстремум.
Я собираюсь немного потратить на этот график,
потому что вам нужно увидеть одну ключевую разницу здесь.
Я не говорю о глобальных экстремумах,
величайших ценностях и самых низких ценностях.
Дело здесь в том, что есть моменты, которые
вы можете упомянуть, что локальный максимум и локальный минимум,
не обязательно означает, что точка, которая
называется максимумом, обязательно
больше, чем точка, называемая минимумом.
Поскольку все точки называются локальными,
их связь между собой
на самом деле не определена.
Только представьте себе такой график,
как очень длинная лестница, как кривая.
Ну, давайте просто отметим несколько максимумов и минимумов здесь.
Итак, на самом деле,
позвольте мне взять красный цвет.
Это максимум, это минимум,
и это максимум,
это минимум. Это неприятности.
У нас есть максимум и у нас есть минимум,
а минимум на самом деле больше максимума.
В этом дело. Это то, о чем мы говорим.
Все эти вещи местные.
Мы не можем сделать никаких выводов только
по его максимуму и минимуму.
Это на самом деле печально,
но это просто так.
Так что мы собираемся сделать здесь,
мы поймем,
как это связано с производными.
Чтобы понять, как это связано с производными,
мы собираемся просто относиться к нашей средней теореме значения.
Как вы помните,
теорема среднего значения говорит нам
, что изменение функции пропорционально
производной и изменению аргумента.
Так что, например,
наша производная положительна
для всего сегмента или отрицательна для всего сегмента,
функция меняется монотонно на этом сегменте.
Если производная положительная,
то функция монотонно растет,
и если производная отрицательная,
то монотонно функция падает.
Таким образом,
нам нужно понять связь
между экстремумом и производной.
Для этого нам нужно помнить нашу теорему среднего значения,
потому что она означает изменение функции
пропорциональна изменению
аргумента и его производной,
так как вы предполагаете, что производная является
положительной или отрицательной на всем сегменте.
Тогда вы обязательно получите
положительное или отрицательное изменение функции.
Другими словами, знак
производной является положительным или отрицательным,
означает монотонность функции.
Кажется, монотонность функции имеет решающее значение для нас.
Потому что давайте предположим, например,
к точке A с
левой стороны мы идем в
правую сторону мы падаем,
в которой мы добавляем функцию, которую мы рассматриваем.
Таким образом, производная имеет точку А
не может быть положительной или отрицательной,
так как она обязательно должна равна нулю.
Такой случай необходимости для экстремумов.
Правило выглядит следующим образом,
если функция имеет экстремум в
заданной точке и дифференцируется как заданная точка,
то производная здесь равна нулю.
Ладно, это понятно.
Но почему это
связано с выпуклостью как второй производной здесь?
Чтобы понять это,
нам нужно двигаться дальше и понять,
как эта производная связана с выпуклостью.