Chào mừng bạn đến với Tối ưu hóa 101.
Chúng ta cần phải hiểu những gì chúng ta đang tìm kiếm
và làm thế nào chúng ta có thể mô tả nó.
Sự bắt đầu đầu đầu tiên là
sự hiểu biết về những gì
được gọi là điểm cực hay cực đoan.
Trước hết, bạn cần phải hiểu rằng
đó là một [không nghe được] ở phía trước,
vì vậy nó là số nhiều là extrema,
và chúng ta sẽ học với nó.
Điểm ví dụ A,
được gọi là một extremum địa phương của hàm F,
nếu nó là lớn nhất so với thấp nhất thực sự.
Một giá trị trong một số khu phố của là một điểm tốt.
Bạn nên hiểu cẩn thận rằng,
định nghĩa này thực sự trông
nếu có bất kỳ khu phố nào
đáp ứng nhu cầu của chúng tôi
về giá trị lớn nhất hoặc thấp nhất.
Vì vậy, bạn không cần phải đẩy cho mỗi hoặc
bằng cách nào đó không được đi ít hơn một số giá trị.
Chỉ cần bất kỳ khu phố nào cũng đủ.
Hãy để chúng tôi chỉ có một cái nhìn vào ví dụ phổ biến nhất.
Tôi đã thực hiện chỉ là một polynom khối
ở đây để đại diện cho một số trường hợp cơ bản.
Vì vậy, những gì chúng ta có ở đây là ba chấm A,
B, C, và chúng ta hãy hiểu.
Thứ nhất, điểm
A là một cực địa phương bởi vì nó là
giá trị lớn nhất ví dụ, trong khu phố này.
Điểm B là một extremum địa phương vì
nó là giá trị thấp nhất trong khu phố này.
Điểm A được gọi là cực đại cục bộ,
và điểm B được gọi là cực đại cục bộ,
và điểm C không phải là cực đại tối thiểu hoặc cực đại.
Bởi vì bất cứ điều gì chúng ta đang
gọi
là khu phố gần nhất ở đây, bất cứ điều gì chúng ta sẽ làm như
khung hình vuông này ở phía bên trái từ điểm C,
chúng ta sẽ nhận được giá trị lớn hơn điểm C,
và ở phía bên phải,
chúng ta sẽ nhận được giá trị thấp hơn
điểm C. Vì vậy, nó không phải là một cực đoan chút nào.
Tôi sẽ chi tiêu khá nhiều vào biểu đồ này,
bởi vì bạn cần thấy một sự khác biệt quan trọng ở đây.
Tôi không nói về cực đoan toàn cầu,
những giá trị lớn nhất và giá trị thấp nhất của tất cả.
Điều ở đây là có những lúc mà
bạn có thể đề cập đến rằng tối đa cục bộ và tối thiểu cục bộ,
không nhất thiết có nghĩa là điểm
được gọi là tối đa nhất thiết phải
lớn hơn điểm được gọi là tối thiểu.
Vì tất cả các điểm được gọi là địa phương,
mối quan hệ của chúng giữa
nhau, nó không thực sự được xác định.
Hãy tưởng tượng một số loại biểu đồ này,
giống như cầu thang cực dài như đường cong.
Vâng, chúng ta hãy đánh dấu một số cực đại và cực đại ở đây.
Vì vậy, điểm này thực sự là,
hãy để tôi chỉ lấy một màu đỏ.
Đó là tối đa, đó là tối thiểu,
và đó là tối đa,
đó là tối thiểu. Đó là một rắc rối.
Chúng tôi có tối đa và chúng tôi có tối thiểu,
và tối thiểu là thực sự lớn hơn tối đa.
Đó là trường hợp. Đó là những gì chúng ta đang nói về.
Tất cả những thứ này đều là địa phương.
Chúng ta không thể đưa ra bất kỳ kết luận nào chỉ
bằng tối đa và tối thiểu của nó ở đây.
Đó thực sự là một điều đáng buồn,
nhưng nó chỉ là trường hợp.
Vì vậy, những gì chúng ta sẽ làm ở đây là,
chúng ta sẽ hiểu làm
thế nào nó được kết nối với các dẫn xuất.
Để hiểu làm thế nào nó được kết nối với các dẫn xuất,
chúng ta sẽ chỉ liên quan đến định lý giá trị trung bình của chúng tôi.
Như bạn nhớ,
định lý giá trị trung bình đã nói với chúng ta rằng sự thay đổi
của một hàm tỷ lệ thuận với
đạo hàm và sự thay đổi của đối số.
Vì vậy, trong trường hợp ví dụ,
đạo hàm của chúng ta là dương
cho tất cả các đoạn hoặc âm cho tất cả các đoạn,
hàm thay đổi đơn điệu trên đoạn này.
Nếu đạo hàm là dương
thì hàm đơn điệu phát triển,
và nếu đạo hàm là âm
thì hàm đơn điệu giảm.
Vì vậy, kết quả là,
chúng ta cần phải hiểu được mối liên hệ
giữa extremum và phái sinh.
Để làm như vậy ta cần nhớ định lý giá trị trung bình của chúng ta,
bởi vì nó là viết tắt của sự thay đổi của hàm là
tỷ lệ thuận với sự thay đổi của
đối số và đạo hàm của nó,
như bạn cho rằng đạo hàm là
dương hoặc âm trên tất cả các đoạn.
Sau đó, bạn nhất thiết phải nhận được
sự thay đổi tích cực hoặc tiêu cực của chức năng.
Nói cách khác, dấu hiệu
của đạo hàm là dương hoặc âm, là
viết tắt của tính đơn điệu của hàm.
Dường như tính đơn điệu của chức năng là rất quan trọng đối với chúng ta.
Bởi vì chúng ta hãy giả định ví dụ,
đến điểm A
ở phía bên trái chúng ta đang đi sang
phía bên phải chúng ta đang rơi,
trong đó chúng ta thêm một chức năng chúng ta đang xem xét.
Do vậy đạo hàm có điểm A
không thể là dương hoặc âm,
vì nó nhất thiết phải bằng 0.
Đây là trường hợp cần thiết cho cực đoan.
Quy tắc ở đây trông như sau,
nếu hàm có cực tại
một điểm cho trước và có thể phân biệt như một điểm cho trước,
thì đạo hàm ở đây bằng 0.
Được rồi, điều đó dễ hiểu.
Nhưng làm thế nào đến nó được
kết nối với lồi như một đạo hàm thứ hai ở đây?
Để hiểu được điều này,
chúng ta cần tiến xa hơn và
hiểu đạo hàm này được kết nối với độ lồi như thế nào.