Así que vamos a tirar un poco
con nuestra definición no constructiva.
Tal vez podamos concluir algo
sobre nuestra línea tangente y ajustarla.
Entonces, ¿cómo empezamos?
En primer lugar, vamos a empezar con que tenemos alguna función
f hacia x e y y algunos dado punto elegido.
Supongamos que apunta a, b.
Hay un plano tangente en este punto.
No sabemos cómo se definió aquí,
qué es lo correcto en la ecuación,
pero supongamos que la función
tiene este plano tangente en este punto.
Voy a destacar este punto.
Sí, así que lo que vamos a hacer,
vamos a considerar una sección de este avión y
la superficie con un avión específico aquí.
El avión es y igual a b. ¿Qué significa?
Básicamente, estamos viendo
una pantalla que se ha
colocado en nuestro gráfico tridimensional,
en el punto a, b paralelo a ese eje y.
Así que lo que conseguimos como resultado,
tenemos dos cosas.
En primer lugar, tenemos la intersección de nuestro cuadrado con el plano, el
plano de abstención, y nuestra superficie como desplegada
fuera de la intersección con nuestra superficie.
Obtenemos la función de la curva,
f a lo que es x y una constante fija b aquí.
Dos tipos de planos están planeados y nuestra pantalla se cruza,
como todos saben, una línea recta.
Entonces, ¿qué obtenemos como resultado?
Obtenemos la mejor aproximación de plano, plano
tangente que se aproxima a
toda la superficie y nuestra curva después,
x y b en particular.
Por lo tanto, la línea recta en la intersección se aproxima
perfectamente nuestra curva f hacia x y b.
Así que es una línea tangente, ¿verdad?
Así que si es una línea tangente,
entonces podemos escribir directamente
su pendiente que anteriormente se llamaba derivada.
Ahora vamos a llamarlo derivado parcial.
Así que estamos implicando que hay
otras variables para nuestra función, pero arreglamos
todas esas variables excepto
nuestra variable x y así definimos su pendiente.
Su cambio hacia un cambio de
sólo una variable x en este punto dado.
Además, voy a comenzar esto y establecer que hay
dos anotaciones diferentes para derivada parcial,
en forma de operador con
buen signo parcial aquí y como de costumbre, la
notación con un índice inferior x aquí con el fin de
indicar la variable a la
que se calculó una derivada parcial.
Así que esa es la definición de nuestros derivados parciales.
Veamos cómo funciona en algunos ejemplos.