Так давайте немного бросим
с нашим неконструктивным определением.
Может быть, мы можем заключить что-то
о нашей касательной линии от нее и скорректировать ее.
Так как же нам это начать?
Во-первых, давайте начнем с того, что у нас есть некоторая функция
f по отношению к x и y, а некоторые заданные выбранные точки.
Предположим, что точки a, b.
Существует касательная плоскость в этой точке.
Мы не знаем, как это было определено здесь,
что это правильно в уравнении,
но давайте просто предположим, что функция
имеет эту касательную плоскость в этой точке.
Я остановлюсь на этом моменте.
Да, так что мы собираемся сделать,
мы рассмотрим участок этого самолета и
поверхность с одной конкретной плоскостью здесь.
Плоскость y равна b. Что это значит?
В основном, мы смотрим
на экран, который был
размещен на нашем трехмерном графике,
в точке a, b параллельно этой оси y.
То, что мы получили в результате,
у нас есть две вещи.
Во-первых, у нас есть пересечение нашей площади с плоскостью, плоскостью
воздержания, и наша поверхность, как
выкатывается из пересечения с нашей поверхностью.
Мы получаем функцию кривой,
f к тому, что x и фиксированную константу b здесь.
Планируется два типа плоскостей, и наш экран пересекает
, как вы все знаете, прямую линию.
Так что же мы получим в результате?
Мы получаем наилучшее приближение плоскости,
касательной плоскости, которая
аппроксимирует всю поверхность и нашу кривую впоследствии,
x и b в частности.
Таким образом, прямая линия в пересечении приближается к
нашей кривой f к x и b идеально.
Так это касательная линия, верно?
Поэтому, если это касательная линия,
то мы можем напрямую написать
ее наклон, который ранее назывался производной.
Теперь мы будем называть его частичной производной.
Таким образом, мы подразумеваем, что есть
другие переменные для нашей функции, но мы исправили
все эти переменные, кроме
нашей переменной x, и, таким образом, мы определили ее уклон.
Его изменение в сторону изменения
только одной переменной x в данной точке.
Кроме того, я собираюсь начать это и установить
две разные нотации для частичной производной,
в форме оператора с
хорошим частичным знаком здесь и, как обычно,
нотация с более низким индексом x здесь, чтобы
указать переменную, к
которой является частичной производной, была рассчитана.
Так вот определение наших частичных производных.
Давайте посмотрим, как это работает на некоторых примерах.