حتى الآن، نحن نعرف ما هو المشتق الجزئي.
لذلك دعونا ننتقل
نحو المعادلة الفعلية لخط المماس.
إذن ما نعرفه الآن،
نحن نعرف خطين مستقيمين،
خطوط مماس في مقسمين عرضين مع تيارين،
س يساوي أ و ذ يساوي ب،
والتي هي بالتأكيد في طائرتنا المماس.
إذاً هل يكفي
أن تكتب معادلة لهذه الطائرة؟
حسنا، اتضح أنه هو كذلك.
أولا، نحن بحاجة إلى
إعادة النظر في بعض الأشياء الأساسية حول معادلة الطائرة.
كما نبدأ مع المعادلة العددية للطائرة،
والتي هي على النحو التالي.
هو منتج العددية أو مجرد
نتيجة لضرب وتجميع
اثنين من الضروريات الأساسية.
لذلك نحن نفترض أننا نحاول وصف
نقطة عشوائية من خطتنا x،
y، z، وهكذا نحن ذاهبون للقيام بذلك من خلال اثنين من المشاهد.
واحد، نظرا لنقطة من طائرتنا على سبيل المثال
x_0، y_0 و z_0،
والمتجه الذي هو متعامد لجميع طائراتنا.
وبعبارة أخرى، هو متعامد
لأي متجه الذي يرخص طائرة في الواقع.
إذن ما سنقوله هو أن المعادلة العددية هي
في الأساس فكرة أن هذين المتجهين متعامدة،
أو بطريقة أخرى،
سنقوم بمضاعفة إحداثياتنا
للمتجه المتعامد
والمتجه الذي هو بالتأكيد مستلقٍ في الطائرة،
وهو متجه بين نقطة س، ص،
ض، لدينا نقطة التعسفي ونقطة x_0، y_0 و z_0.
هذه معادلة الطائرة لدينا.
انها ليست في الواقع الشيء الوحيد الذي
يمكننا تحديد طائرتنا،
لكنها مريحة جدا
وعادة ما تستخدم في العديد من المناسبات.
إذن شيء آخر
سأذكرك به هو مفهوم المنتج العددي،
وهو رسم خرائط من متجهين إلى
أرقام حقيقية ويعمل إلى حد كبير كما ذكرنا أعلاه.
انها مجرد مجموعة من
الإحداثيات المضروبة لمتجهين.
إنه
إلى حد كبير ما قمنا به في مستوى المعادلة العددية لدينا، ومن مسؤوليتك
معرفة ولكن دعونا نكرر التأكيد هو،
المشروع العددي له معناه الهندسي،
والذي هو في الأساس نتاج أطوال
متجهين مضروبا
في جيب التمام من زاوية بينهما.
يجب عليك أيضا أن تأخذ بعين الاعتبار أنه في حالتين بعدين،
حالات متعددة الأبعاد ومسافات من ثلاثة،
أربعة وأبعاد أخرى،
وهذا هو في الأساس تعريف للزاوية.
لذلك فهي ليست طريقة سهلة
للفة مع المنتج العددي هنا.
الأمر معقد للغاية في الواقع
ولكنها تنتج بعض مشهد ثلاثي الأبعاد آخر
هنا لأن ما سنقوله بالنظر إلى
تكاثرنا بوظيفة جيب التمام هو أن الحالة المتعامدة
تتميز في الواقع بقيمة
منتج عددي إذا كان متجهين متعامدين،
مما يعني أن لديهم زاوية نصف Pi.
لذا فإن جيب التمام من نصف Pi هو صفر،
لذلك يؤدي الضرب في وظيفة جيب التمام
إلى الصفر كنتيجة مشروع عددية.
لذلك أساسا، هذه هي الطريقة التي
يمكن للمرء أن يعرف أن اثنين من ناقلات متعامدة.
فكيف سنستخدمها.
سنستخدمها بالطريقة التالية.
بادئ ذي بدء، نحن نعرف النقطة التي
تنتمي بالتأكيد إلى طائرتنا المماس.
إنها نقطة أ، ب، و من أ، ب
هذا ما نتوقعه،
وهذا هو الهدف من تقريب لدينا.
لذلك نحن بحاجة إلى العثور
على ناقلات متعامدة لجميع طائراتنا المماس هنا،
لكننا نعلم أننا نعرف أننا نعرف
متجهين له اتجاه
لخطوط المماس التي ذكرناها بينما
كنا نحدد مشتقاتنا الجزئية.
فهي الاتجاه لخطوط الظل لدينا.
بطريقة أخرى، نحن نعلم أن
أحد المتغيرات أثناء
حساب المشتقات الجزئية تم إصلاحها.
على سبيل المثال، في حين كنا نعرّف
بأنه المشتق الجزئي y تم إصلاحه،
وبالتالي يعني أن الإحداثيات y
للمتجه الاتجاهي
لهذا الخط المماس يساوي الصفر.
وينطبق الشيء نفسه على الحالة y
و x الإحداثيات في هذه الحالة.
لذلك لدينا في الواقع اثنين من ناقلات.
مشتق جزئي 1,0 نحو x،
و 0,1 مشتق جزئي نحو y،
مما يؤدي إلى 2X كما هو
بالتأكيد الكذب في الطائرة المماس لدينا.
لذلك نعم، نحن نعرف ذلك.
نحتاج إلى بناء متجه آخر،
متجه ثالث متعامد مع هذين الاثنين
، وهو سهل للغاية.
فقط دعنا نعيد النظر فيه
وهو متجه وهو مشتق جزئي نحو x،
مشتق جزئي نحو y وناقص واحد.
لنفترض أنه في حين يمكننا حساب
هذا المنتج العددي مع
المتجه الأول هنا وناقلات الثاني هنا،
ونحن بالتأكيد تقريبا سوف تحصل على الصفر.
حسنا، فمن السهل لأننا ضرب
1 من قبل بعض المشتقات الجزئية،
ومن ثم ناقص 1 من قبل
إجابات مشتقة جزئية جدا
في الجمع نحصل على الصفر.
حتى الآن، يمكننا كتابة المعادلة العددية
للطائرة وبمجرد تحول سهل،
لأنه من الجميل أن يكون لديك هذا
المتغير المماس على الجانب الأيسر من المعادلة،
وإلى اليد اليمنى،
سوف يكتبون هذا فقط.
لذا فإن معادلنا لمستوى الظل هو
متغير الظل لدينا يساوي
الدالة في هذه النقطة بالذات،
ثم تم ضرب المشتقات الجزئية بتغيير
الحجج x و y على التوالي.
لذلك دعونا على سبيل المثال
ننظر في حالة وظيفة تمت مناقشتها سابقا،
الجذر التربيعي من القيمة المطلقة للمنتج س و ص.
لقد ذكرنا بالفعل أن النقطة 0,0
كل من المشتقات الجزئية لدينا
هي في الواقع تساوي الصفر.
حسنا لذلك أنا ذاهب الى مجرد كتابته أسفل.
حسناً، هذا جيد
دعونا نمضي قدما في المعادلة الفعلية.
نحن بحاجة لكتابة Z يساوي.
أولا وقبل كل شيء، قيمة وظيفتنا في نقطة 0،0.
حسنا، القيمة المطلقة للصفر هي صفر،
لذلك كان من السهل جدا.
ثم نحن بحاجة إلى كتابة
مشتقنا الجزئي نحو x مضروبا في
x ناقص 0
بالإضافة إلى مشتق جزئي نحو
y مضروبا في ص ناقص 0.
حسنا، هذا سهل جدا.
وبالتالي فإن الشيء هو أننا
ذاهبون إلى استدعاء لدينا طائرة الظل،
هذه النقاط الصحيحة للوظيفة الجذر التربيعي
من الضرب س و y هو المستوى الأفقي.
الطائرات التي تتزامن مع 0 س,
ص الطائرة من الفضاء ثلاثي الأبعاد.
حسناً، وهذا لطيف
هذه طريقة جيدة لتعريف طائرتنا المماس