Also, jetzt wissen wir, was partielle Ableitung ist.
Lassen Sie uns also
auf die eigentliche Gleichung der Tangentiallinie gehen.
Was wir jetzt wissen,
wissen wir zwei gerade Linien,
Tangentenlinien in zwei Querschnitten mit zwei Strömen,
x gleich a und y gleich b,
die definitiv in unsere Tangentenebene sind.
Reicht es also
, tatsächlich eine Gleichung dieser Ebene zu schreiben?
Nun, es stellt sich heraus, dass es so ist.
Erstens müssen wir
einige grundlegende Dinge über die Gleichung eines Flugzeugs überdenken.
Wie wir mit einer Skalargleichung einer Ebene beginnen,
die wie folgt ist.
Es ist skalares Produkt oder nur
als Ergebnis der Multiplikation und
Summierung von zwei grundlegenden Essentials.
Wir gehen also davon aus, dass wir versuchen,
willkürlichen Punkt unseres Plans x,
y, z zu charakterisieren, und so werden wir dies durch zwei Szenen tun.
Eins, gegeben einen Punkt unserer Ebene zum Beispiel x_0,
y_0 und z_0, und
ein Vektor, der für alle unsere Ebene orthogonal ist.
Mit anderen Worten, es ist orthogonal für
jeden Vektor, der eine Ebene tatsächlich lizenziert.
Was wir sagen werden ist, dass die Skalargleichung
im Grunde die Idee ist, dass diese beiden Vektoren orthogonal sind,
oder auf andere Weise
werden wir unsere Koordinaten des
orthogonalen Vektors und des Vektors multiplizieren,
der definitiv in der Ebene liegt,
die Vektor zwischen Punkt x, y,
z, unser beliebiger Punkt und Punkt x_0, y_0 und z_0.
Das ist unsere Gleichung eines Flugzeugs.
Es ist nicht wirklich das einzige, was wir
unser Flugzeug definieren können,
aber es ist ziemlich praktisch und es
wird normalerweise in vielen Gelegenheiten verwendet.
Also eine andere Sache, die ich
Sie daran erinnern werde, ist das Konzept des skalaren Produkts,
das eine Zuordnung von zwei Vektoren in
reale Zahlen ist und es so ziemlich funktioniert, wie wir oben erwähnt haben.
Es ist nur eine
Summierung multiplizierter Koordinaten von zwei Vektoren.
Es ist so ziemlich das, was wir
in unserer Skalargleichungsebene getan haben,
und es ist Ihre Verantwortung zu
wissen, aber lassen Sie uns wiederholen, ist,
skalare Projekt hat seine geometrische Bedeutung,
die im Grunde ein Produkt der Längen von
zwei Vektoren multipliziert mit
dem Kosinus eines Winkels zwischen ihnen.
Sie sollten auch bedenken, dass in zweidimensionalen Fällen,
mehrdimensionalen Fällen und Räumen von drei,
vier und anderen Dimensionen,
das im Grunde eine Definition eines Winkels ist.
Es ist also nicht ganz einfach,
hier mit dem Skalarprodukt zu rollen.
Eigentlich ist es extrem kompliziert.
Aber es erzeugt
hier eine andere 3D-Szene, denn was wir sagen werden, wenn wir
unsere Multiplikation mit der Kosinusfunktion betrachten
, ist, dass der orthogonale Fall
tatsächlich durch den Wert
eines skalaren Produkts gekennzeichnet ist, wenn zwei Vektoren orthogonal sind,
was bedeutet, dass sie eine Winkel der Hälfte des Pi. Der
Kosinus der Hälfte eines Pi ist also Null,
so dass die Multiplikation mit der Kosinusfunktion
als skalares Projektergebnis zu Null führt.
So
kann man also im Grunde definieren, dass zwei Vektoren orthogonal sind.
Also, wie werden wir es benutzen?
Wir werden es auf die folgende Art und Weise verwenden.
Zuallererst kennen wir den Punkt, der
definitiv zu unserer Tangentialebene gehört.
Es ist ein Punkt a, b, f von a, b.
Das ist, was wir erwarten,
das ist der Punkt unserer Annäherung.
Wir müssen also
den orthogonalen Vektor zu all unseren tangentialen Ebenen hier finden,
aber wir wissen, dass wir
zwei Vektoren kennen, die Richtungslinien für
unsere Tangentenlinien haben, die wir erwähnt haben, während
wir unsere Teilderivate definieren.
Sie sind richtungsweisend für unsere Tangentiallinien.
Auf andere Weise wissen wir, dass
eine der Variablen bei
der Berechnung von Teilderivaten festgelegt wurde.
Zum Beispiel, während wir
als die partielle Ableitung Y definiert wurden,
bedeutet dies, dass die y-Koordinate
des Richtungsvektors
dieser Tangentenlinie gleich Null ist.
Dasselbe gilt für den y-Fall
und die x-Koordinate in diesem Fall.
Also haben wir eigentlich zwei Vektoren.
1,0 partielle Ableitung zu x,
und 0,1 partielle Ableitung
in Richtung y. was zu 2x führt, wie
definitiv in unserer Tangentenebene liegen.
Also ja, wir wissen es.
Wir müssen einen anderen Vektor konstruieren,
einen dritten Vektor, der orthogonal zu diesen beiden ist,
und es ist ziemlich einfach.
Lassen Sie uns das einfach noch einmal überdenken.
Es ist ein Vektor, der partielle Ableitung in Richtung x,
partielle Ableitung zu y und minus eins ist.
Nehmen wir an, dass wir
dieses skalare Produkt zwar mit
dem ersten Vektor hier und dem zweiten Vektor hier berechnen können,
wir fast definitiv Null bekommen.
Nun, es ist einfach, weil wir
1 mit einer partiellen Ableitung multiplizieren,
und dann minus 1 durch
sehr viel partielle abgeleitete Antworten
in Summe erhalten wir Null.
So können wir jetzt unsere
Skalargleichung einer Ebene schreiben und mit nur einer einfachen Transformation,
weil es schön ist, diese
Tangentenvariable auf der linken Seite der Gleichung
zu haben, und auf der rechten Seite
werden sie dies einfach aufschreiben.
Also unsere Gleichung der Tangentenebene ist
unsere Tangentenvariable gleich
der Funktion an diesem Punkt,
und dann partielle Ableitungen wurden mit der Änderung
der Argumente x und y multipliziert.
Betrachten wir zum Beispiel
den Fall der zuvor besprochenen Funktion,
Quadratwurzel aus dem absoluten Wert von Produkt x und y.
Wir haben tatsächlich bereits gesagt, dass
der Punkt 0,0 beide unserer Teilderivate
tatsächlich gleich Null sind.
Okay, also werde ich es einfach aufschreiben.
Okay, das ist in Ordnung.
Lassen Sie uns mit einer tatsächlichen Gleichung fortfahren.
Wir müssen z gleich schreiben.
Zunächst einmal der Wert unserer Funktion an Punkt 0,0.
Nun, der absolute Wert von Null ist Null,
also war es ziemlich einfach.
Dann müssen wir
unsere partielle Ableitung in Richtung x
multipliziert mit x minus 0
plus partielle Ableitung in Richtung
y multipliziert mit y minus 0 schreiben.
Nun, das ist ziemlich einfach.
Die Sache ist also, dass wir
unsere Tangentenebene nennen werden,
diese richtigen Punkte für die Funktion Quadratwurzel
von der Multiplikation von x und y ist horizontale Ebene.
Die Ebenen, die mit der 0 x,
y-Ebene des dreidimensionalen Raums übereinstimmen.
Okay, und das ist nett.
Das ist ein guter Weg, um unsere Tangentialebene zu definieren.