Así que ahora, sabemos lo que es derivado parcial.
Así que avancemos
hacia la ecuación real de la línea tangente.
Así que lo que sabemos ahora,
sabemos dos líneas rectas,
líneas tangentes en dos secciones transversales con dos corrientes,
x igual a a e y igual a b,
que definitivamente están en nuestro plano tangente.
Entonces, ¿es suficiente
para escribir realmente una ecuación de este plano?
Bueno, resulta que lo es.
En primer lugar, tenemos que
volver a examinar algunas cosas básicas sobre la ecuación de un plano.
A medida que comenzamos con una ecuación escalar de un plano,
que es el siguiente.
Es un producto escalar o simplemente como
resultado de la multiplicación y la
suma de dos elementos esenciales básicos.
Así que asumimos que estamos tratando de caracterizar el
punto arbitrario de nuestro plan x
, y, z, y así vamos a hacerlo por dos escenas.
Uno, dado un punto de nuestro plano por ejemplo x_0,
y_0 y z_0, y
un vector que es ortogonal para todo nuestro plano.
En otras palabras, es ortogonal para
cualquier vector que licencia un avión en realidad.
Así que lo que vamos a decir es que la ecuación escalar es
básicamente la idea de que estos dos vectores son ortogonales,
o de otra manera,
vamos a multiplicar nuestras coordenadas
del vector ortogonal y
el vector que definitivamente está acostado en el plano,
que es vector entre punto x, y,
z, nuestro punto arbitrario y punto x_0, y_0 y z_0.
Esa es nuestra ecuación de un avión.
En realidad, no es lo único que
podemos definir nuestro avión,
pero es bastante conveniente y
generalmente se usa en muchas ocasiones.
Así que otra cosa que voy
a recordarles es el concepto de producto escalar,
que es un mapeo de dos vectores en
números reales y funciona más o menos como dijimos anteriormente.
Es sólo una suma
de coordenadas multiplicadas de dos vectores.
Es más o menos lo que hemos
hecho en nuestro plano de ecuaciones escalares,
y es su responsabilidad
saber, pero vamos a reiterar es, el
proyecto escalar tiene su significado geométrico,
que es básicamente un producto de las longitudes de
dos vectores multiplicados por
el coseno de un ángulo entre ellos.
También debe considerar que en casos bidimensionales, casos
multidimensionales y espacios de tres,
cuatro y otras dimensiones,
eso es básicamente una definición de un ángulo.
Por lo tanto, no es una manera muy fácil de
rodar con el producto escalar aquí.
En realidad, es extremadamente complicado.
Pero produce alguna otra escena 3D
aquí porque lo que vamos a decir mirando
nuestra multiplicación por la función coseno
es que el caso ortogonal
se caracteriza por el valor de
un producto escalar si dos vectores son ortogonales,
lo que significa que tienen un ángulo de la mitad de Pi.
Así que el coseno de la mitad de un Pi es cero,
por lo que la multiplicación por la función coseno resulta
en cero como resultado del proyecto escalar.
Básicamente, así es como
se puede definir que dos vectores son ortogonales.
Entonces, ¿cómo vamos a usarlo?
Vamos a usarlo de la siguiente manera.
En primer lugar, sabemos el punto que
definitivamente pertenece a nuestro plano tangente.
Es un punto a, b, f de a, b.
Eso es lo que estamos esperando,
ese es el punto de nuestra aproximación.
Así que necesitamos encontrar
el vector ortogonal a todos nuestros planos tangentes aquí,
pero sí sabemos que sí conocemos
dos vectores que tienen direccional para
nuestras líneas tangentes que hemos mencionado mientras
estábamos definiendo nuestras derivadas parciales.
Son direccionales para nuestras líneas tangentes.
De otra manera, sabemos que
una de las variables durante
el cálculo de derivados parciales fue fija.
Por ejemplo, mientras estábamos definiendo
como la derivada parcial y eran fijas,
significa que la coordenada y
del vector direccional de
esta línea tangente es igual a cero.
Lo mismo se aplica para el caso y
y la coordenada x en este caso.
Así que tenemos en realidad dos vectores.
1,0 derivada parcial hacia x,
y 0,1 derivada parcial hacia y.
Lo que resulta en 2x como
definitivamente yace en nuestro plano tangente.
Así que sí, lo sabemos.
Necesitamos construir otro vector,
un tercer vector que es ortogonal a estos dos,
y es bastante fácil.
Sólo dejemos que lo revisemos.
Es un vector que es derivado parcial hacia x,
derivado parcial hacia y y y menos uno.
Digamos que si bien podemos calcular
este producto escalar con
el primer vector aquí y el segundo vector aquí,
casi definitivamente vamos a conseguir cero.
Bueno, es fácil porque multiplicamos
1 por alguna derivada parcial,
y luego menos 1 por
respuestas derivadas parciales
en suma obtenemos cero.
Así que ahora, podemos escribir nuestra ecuación escalar
de un plano y con sólo una transformación fácil,
porque es bueno tener esa
variable tangente en el lado izquierdo de
la ecuación, y a la derecha,
van a escribir esto.
Así que nuestra ecuación del plano tangente es
nuestra variable tangente es igual a
la función en este mismo punto,
y luego las derivadas parciales se multiplicaron por el cambio
de argumentos x e y respectivamente.
Así que, por ejemplo,
veamos el caso de la función previamente discutida,
raíz cuadrada del valor absoluto del producto x e y.
En realidad ya hemos afirmado que el punto 0,0
ambos derivados
parciales son en realidad iguales a cero.
Está bien, así que voy a escribirlo.
Está bien, está bien.
Procedamos con una ecuación real.
Tenemos que escribir z es igual a.
En primer lugar, el valor de nuestra función en el punto 0,0.
Bueno, el valor absoluto de cero es cero,
así que fue bastante fácil.
Entonces necesitamos escribir
nuestra derivada parcial hacia x multiplicada
por x menos 0
más derivada parcial hacia
y multiplicada por y menos 0.
Bueno, eso es bastante fácil.
Así que la cosa es que
vamos a llamar a nuestro plano tangente,
estos puntos correctos para la función raíz cuadrada
de la multiplicación de x e y es plano horizontal.
Planos que coinciden con el
plano 0 x, y del espacio tridimensional.
Vale, y eso es bonito.
Esa es una buena manera de definir nuestro plano tangente.