Donc maintenant, nous savons ce qui est dérivé partiel.
Passons donc
à l'équation réelle de la ligne tangente.
Donc, ce que nous savons maintenant,
nous connaissons deux lignes droites, des
lignes tangentes en deux sections transversales avec deux flux,
x égal à a et y égal à b,
qui sont définitivement dans notre plan tangent.
Est-ce suffisant pour
écrire une équation de ce plan ?
Eh bien, il s'avère que c'est le cas.
Tout d'abord, nous devons
revoir certaines choses fondamentales sur l'équation d'un plan.
Comme nous commençons par une équation scalaire d'un plan,
qui est comme suit.
C' est
un produit scalaire ou tout simplement à la suite de la multiplication et
de la somme de deux essentiels de base.
Donc, nous supposons que nous essayons de caractériser le
point arbitraire de notre plan x
, y, z, et donc nous allons le faire par deux scènes.
Un, donné un point de notre plan par exemple x_0,
y_0 et z_0, et
un vecteur qui est orthogonal pour tout notre plan.
En d'autres termes, c'est orthogonal pour
tout vecteur qui autorise un avion en fait.
Donc, ce que nous allons dire, c'est que l'équation scalaire est
fondamentalement l'idée que ces deux vecteurs sont
orthogonaux, ou d'une autre manière, nous allons multiplier nos coordonnées
du vecteur orthogonal et
du vecteur qui se trouve définitivement dans le plan,
qui est vecteur entre point x, y,
z, notre point arbitraire et le point x_0, y_0 et z_0.
C' est notre équation d'un plan.
Ce n'est pas vraiment la seule chose que nous
pouvons définir notre avion,
mais c'est assez pratique et il est
généralement utilisé à de nombreuses occasions.
Donc une autre chose que je vais
vous rappeler est le concept de produit scalaire,
qui est une cartographie de deux vecteurs en
nombres réels et cela fonctionne à peu près comme nous l'avons dit ci-dessus.
C' est juste une somme
des coordonnées multipliées de deux vecteurs.
C' est à peu près ce que nous avons
fait dans notre plan d'équation scalaire,
et il est de votre responsabilité de
savoir mais rappelons que le
projet scalaire a sa signification géométrique,
qui est fondamentalement un produit des longueurs de
deux vecteurs multipliées par
le cosinus d'un angle entre eux.
Vous devriez également considérer que dans les cas bidimensionnels, les
cas multidimensionnels et les espaces de trois,
quatre et d'autres dimensions,
c'est essentiellement une définition d'un angle.
Donc, ce n'est pas tout
à fait un moyen facile de rouler avec le produit scalaire ici.
C' est extrêmement compliqué en fait.
Mais il produit une autre scène 3D
ici parce que ce que nous allons dire en regardant
notre multiplication par la fonction cosinus
est que le cas orthogonal
est en fait caractérisé par la valeur d'
un produit scalaire si deux vecteurs sont orthogonaux,
ce qui signifie qu'ils ont un angle de la moitié de Pi.
Donc cosinus de la moitié d'un Pi est zéro,
donc la multiplication par la fonction cosinus
se traduit par zéro comme résultat de projet scalaire.
Donc, fondamentalement, c'est ainsi que l'on
peut définir que deux vecteurs sont orthogonaux.
Alors comment allons-nous l'utiliser ?
Nous allons l'utiliser de la manière suivante.
Tout d'abord, nous connaissons le point qui
appartient définitivement à notre plan tangent.
C' est un point a, b, f de a, b.
C'est ce que nous attendons,
c'est le point de notre approximation.
Nous devons donc trouver
le vecteur orthogonal à tous nos plans tangents ici,
mais nous savons que nous connaissons
deux vecteurs qui ont une direction pour
nos lignes tangentes que nous avons mentionnées pendant que
nous définissions nos dérivés partiels.
Ils sont directionnels pour nos lignes tangentes. D'une
autre manière, nous savons que
l'une des variables
du calcul des dérivés partiels a été fixée.
Par exemple, alors que nous définissions
comme la dérivée partielle y ont été fixés,
signifie donc que la coordonnée y
du vecteur directionnel de
cette ligne tangente est égale à zéro. Il
en va de même pour le cas y
et la coordonnée x dans ce cas.
Donc, nous avons en fait deux vecteurs.
1,0 dérivé partiel vers x,
et 0,1 dérivé dérivé partiel vers y.
Ce qui se traduit par 2x aussi
bien que couché dans notre plan tangent.
Donc oui, nous le savons.
Nous devons construire un autre vecteur,
un troisième vecteur orthogonal à ces deux,
et c'est assez facile.
Laissez-nous le revoir.
C' est un vecteur qui est dérivé partiel vers x,
dérivé partiel vers y et moins un.
Disons que si nous pouvons calculer
ce produit scalaire avec
le premier vecteur ici et le second vecteur ici,
nous allons presque certainement obtenir zéro.
Eh bien, c'est facile parce que nous multiplions
1 par un dérivé partiel,
puis moins 1 par des
réponses dérivées très partielles
en somme nous obtenons zéro.
Donc maintenant, nous pouvons écrire notre équation scalaire
d'un plan et avec juste une transformation facile,
car il est agréable d'avoir cette
variable tangente sur le côté gauche de
l'équation, et
à droite, ils vont simplement écrire ceci.
Donc, notre équation du plan tangent est
notre variable tangente égale à
la fonction à ce point même,
puis les dérivées partielles ont été multipliées par le changement
des arguments x et y respectivement.
Donc,
regardons par exemple le cas de la fonction précédemment discutée,
racine carrée de la valeur absolue du produit x et y.
Nous avons déjà déclaré que le point 0,0
de nos deux dérivés partiels
sont en fait égaux à zéro.
Ok donc je vais juste l'écrire.
Ok, c'est bon.
Continuons avec une équation réelle.
Nous devons écrire z égal à.
Tout d'abord, la valeur de notre fonction au point 0,0.
Eh bien, la valeur absolue de zéro est zéro,
donc c'était assez facile.
Ensuite, nous devons écrire
notre dérivé partiel vers x multiplié
par x moins 0
plus dérivé partiel vers
y multiplié par y moins 0.
Eh bien, c'est assez facile.
Donc, la chose est que nous
allons appeler notre plan tangent,
ces bons points pour la fonction racine carrée
de la multiplication de x et y est plan horizontal.
Les plans qui coïncident avec le
plan 0 x, y de l'espace tridimensionnel.
Ok, et c'est sympa.
C' est une belle façon de définir notre plan tangent.