Quindi ora sappiamo cosa è derivata parziale.
Quindi andiamo avanti
verso l'equazione effettiva della linea tangente.
Quindi quello che sappiamo ora,
sappiamo due linee rette,
linee tangenti in due sezioni trasversali con due flussi,
x uguale a a e y uguale a b,
che sono sicuramente nel nostro piano tangente.
Quindi basta
scrivere un'equazione di questo piano?
Beh, si scopre che lo e'.
In primo luogo, dobbiamo
rivedere alcune cose fondamentali sull'equazione di un aereo.
Come iniziamo con un'equazione scalare di un piano,
che è il seguente.
È prodotto scalare o semplicemente come
risultato della moltiplicazione e
somma di due elementi essenziali di base.
Quindi supponiamo che stiamo cercando di caratterizzare
punto arbitrario del nostro piano x,
y, z, e così stiamo andando a farlo da due scene.
Uno, dato un punto del nostro piano per esempio x_0,
y_0 e z_0, e
un vettore che è ortogonale per tutto il nostro piano.
In altre parole, è ortogonale per
qualsiasi vettore che licenza un aereo effettivamente.
Quindi quello che stiamo per dire è che l'equazione scalare è
fondamentalmente l'idea che questi due vettori sono ortogonali,
o in altro modo,
stiamo andando a moltiplicare le nostre coordinate del
vettore ortogonale e
il vettore che è sicuramente sdraiato nel piano,
che è vettore tra punto x, y,
z, il nostro punto arbitrario e il punto x_0, y_0 e z_0.
E' la nostra equazione di un aereo.
In realtà non è l'unica cosa che
possiamo definire il nostro aereo,
ma è abbastanza conveniente e di
solito è usato in molte occasioni.
Quindi un'altra cosa che
ti ricorderò è il concetto di prodotto scalare,
che è una mappatura da due vettori in
numeri reali e funziona praticamente come abbiamo affermato sopra.
È solo una somma
di coordinate moltiplicate di due vettori.
E 'praticamente quello che abbiamo
fatto nel nostro piano di equazione scalare,
ed è vostra responsabilità
sapere, ma cerchiamo di ribadire è,
progetto scalare ha il suo significato geometrico,
che è fondamentalmente un prodotto delle lunghezze di
due vettori moltiplicati per
il coseno di un angolo tra di loro.
Si dovrebbe anche considerare che in casi bidimensionali,
casi multidimensionali e spazi di tre,
quattro e altre dimensioni,
questa è fondamentalmente una definizione di angolo.
Quindi non è un modo abbastanza semplice
per rotolare con il prodotto scalare qui.
In realta' e' estremamente complicato.
Ma produce qualche altra scena 3D
qui perché quello che stiamo per dire guardando la
nostra moltiplicazione per la funzione coseno
è che il caso ortogonale
è in realtà caratterizzato dal valore di
un prodotto scalare se due vettori sono ortogonali, il
che significa che hanno un angolo della metà di Pi.
Quindi il coseno della metà di un Pi è zero,
quindi la moltiplicazione per la funzione coseno risulta
in zero come risultato del progetto scalare.
Quindi, fondamentalmente, è così che si
può definire che due vettori sono ortogonali.
Allora, come lo useremo?
Lo useremo nel modo seguente.
Prima di tutto, conosciamo il punto che
sicuramente appartiene al nostro piano tangente.
È un punto a, b, f da a, b.
Questo è quello che ci aspettiamo,
questo è il punto della nostra approssimazione.
Quindi dobbiamo trovare
il vettore ortogonale di tutti i nostri piani tangenti qui,
ma sappiamo di conoscere
due vettori che hanno direzionale per le
nostre linee tangenti che abbiamo menzionato mentre
stavamo definendo le nostre derivate parziali.
Sono direzionali per le nostre linee tangenti.
In altro modo, sappiamo che
una delle variabili durante
il calcolo dei derivati parziali è stata fissa.
Ad esempio, mentre stavamo definendo
come la derivata parziale y sono state fisse,
significa quindi che la coordinata y del
vettore direzionale di
questa linea tangente è uguale a zero.
Lo stesso vale per il caso y
e la coordinata x in questo caso.
Quindi abbiamo in realtà due vettori.
1,0 derivata parziale verso x,
e 0,1 derivata parziale verso y. Il
che si traduce in 2x come
sicuramente giace nel nostro piano tangente.
Quindi si', lo sappiamo.
Dobbiamo costruire un altro vettore,
un terzo vettore che è ortogonale a questi due,
ed è abbastanza facile.
Lasciamolo rivisitare.
È un vettore che è derivato parziale verso x,
derivato parziale verso y e meno uno.
Diciamo che mentre possiamo calcolare
questo prodotto scalare con
il primo vettore qui e il secondo vettore qui,
stiamo quasi sicuramente andando a zero.
Bene, è facile perché moltiplichiamo
1 per qualche derivata parziale,
e poi meno 1 per
risposte derivate molto parziali
in sommatoria otteniamo zero.
Così ora, possiamo scrivere la nostra equazione scalare
di un piano e con una semplice trasformazione,
perché è bello avere quella
variabile tangente sul lato sinistro dell'equazione
, e
a destra, stanno per scrivere questo.
Quindi la nostra equazione del piano tangente è la
nostra variabile tangente uguale
alla funzione in questo punto,
e quindi derivate parziali è stato moltiplicato per il cambiamento
di argomenti x e y rispettivamente.
Vediamo quindi ad esempio
il caso della funzione precedentemente discussa,
radice quadrata dal valore assoluto del prodotto x e y.
Abbiamo già affermato che il punto 0,0
entrambi i nostri derivati parziali
sono effettivamente uguali a zero.
Ok, quindi lo scrivero' e basta.
Ok, va bene cosi'.
Procediamo con un'equazione reale.
Dobbiamo scrivere z uguale a.
Prima di tutto, il valore della nostra funzione al punto 0,0.
Bene, il valore assoluto di zero è zero,
quindi è stato abbastanza facile.
Quindi abbiamo bisogno di scrivere
la nostra derivata parziale verso x
moltiplicato per x meno 0
più derivata parziale verso
y moltiplicato per y meno 0.
Beh, e' piuttosto facile.
Quindi il fatto è che
chiameremo il nostro piano tangente,
questi punti giusti per la funzione radice quadrata
dalla moltiplicazione di x e y è piano orizzontale.
I piani che coincidono con 0 x,
y piano dello spazio tridimensionale.
Ok, ed e' bello.
E' un ottimo modo per definire il nostro piano tangente.