Então agora, sabemos o que é derivado parcial.
Então vamos avançar
para a equação real da linha tangente.
Então o que sabemos agora,
sabemos duas linhas retas, linhas
tangentes em duas seções transversais com dois fluxos,
x igual a a a e y igual a b,
que estão definitivamente em nosso plano tangente.
Então é o suficiente
para escrever uma equação deste plano?
Bem, acontece que é.
Em primeiro lugar, precisamos
rever algumas coisas básicas sobre a equação de um plano.
Como começamos com uma equação escalar de um plano,
que é o seguinte.
É produto escalar ou apenas como
resultado da multiplicação e
soma de dois fundamentos básicos.
Então assumimos que estamos tentando caracterizar o
ponto arbitrário do nosso plano x
, y, z, e então vamos fazê-lo por duas cenas.
Um, dado um ponto do nosso plano por exemplo x_0,
y_0 e z_0, e
um vetor que é ortogonal para todo o nosso plano.
Em outras palavras, é ortogonal para
qualquer vetor que licenciar um avião na verdade.
Então o que vamos dizer é que a equação escalar é
basicamente a idéia de que esses dois vetores são ortogonais,
ou de outra forma,
vamos multiplicar nossas coordenadas do
vetor ortogonal e
o vetor que está definitivamente deitado no plano,
que é vetor entre ponto x, y,
z, nosso ponto arbitrário e ponto x_0, y_0 e z_0.
Essa é a nossa equação de um avião.
Não é realmente a única coisa que
podemos definir o nosso avião,
mas é bastante conveniente e
geralmente é usado em muitas ocasiões.
Então, outra coisa que eu vou
lembrá-los é o conceito de produto escalar,
que é um mapeamento de dois vetores em
números reais e funciona praticamente como dissemos acima.
É apenas uma soma
de coordenadas multiplicadas de dois vetores.
É praticamente o que
fizemos em nosso plano de equação escalar,
e é sua responsabilidade
saber, mas vamos reiterar é,
projeto escalar tem seu significado geométrico,
que é basicamente um produto dos comprimentos de
dois vetores multiplicados pelo
cosseno de um ângulo entre eles.
Você também deve considerar que em casos bidimensionais,
casos multidimensionais e espaços de três,
quatro e outras dimensões,
isso é basicamente uma definição de ângulo.
Portanto, não é uma maneira muito fácil de
rolar com o produto escalar aqui.
Na verdade, é extremamente complicado.
Mas produz alguma outra cena 3D
aqui porque o que vamos dizer olhando para a
nossa multiplicação pela função cosseno
é que o caso ortogonal
é realmente caracterizado pelo valor de
um produto escalar se dois vetores são ortogonal, o
que significa que eles têm um ângulo de metade de Pi.
Então cosseno de metade de um Pi é zero,
então a multiplicação pela função cosseno resulta
em zero como um resultado de projeto escalar.
Então, basicamente, é assim que se
pode definir que dois vetores são ortogonais.
Então, como vamos usá-lo?
Vamos usá-lo da seguinte maneira.
Em primeiro lugar, sabemos o ponto que
definitivamente pertence ao nosso plano tangente.
É um ponto a, b, f de a, b.
Isso é o que estamos esperando,
esse é o ponto de nossa aproximação.
Então precisamos encontrar
o vetor ortogonal para todos os nossos planos tangentes aqui,
mas sabemos que conhecemos
dois vetores que tem direcional para
nossas linhas tangentes que
mencionamos enquanto estávamos definindo nossas derivadas parciais.
Eles são direcionais para nossas linhas tangentes.
De outra forma, sabemos que
uma das variáveis durante
o cálculo dos derivados parciais foi fixa.
Por exemplo, enquanto estávamos definindo
como a derivada parcial y foram fixos,
assim significa que a coordenada y
do vetor direcional
desta linha tangente é igual a zero.
O mesmo se aplica para o caso y
e coordenada x neste caso.
Então nós temos na verdade dois vetores.
1,0 derivado parcial para x,
e 0,1 derivado parcial para y. o
que resulta em 2x como
definitivamente deitado em nosso plano tangente.
Então, sim, nós sabemos disso.
Precisamos construir outro vetor,
um terceiro vetor que é ortogonal para esses dois,
e é bem fácil.
Deixe-nos apenas revisitá-lo.
É um vetor que é derivada parcial em direção a x,
derivada parcial em direção a y e menos um.
Digamos que, embora possamos calcular
este produto escalar com
o primeiro vetor aqui e o segundo vetor aqui,
vamos quase definitivamente obter zero.
Bem, é fácil porque multiplicamos
1 por algum derivado parcial,
e então menos 1 por
muito respostas derivadas parciais
em soma obtemos zero.
Então agora, podemos escrever nossa equação escalar
de um plano e com apenas uma transformação fácil,
porque é bom ter essa
variável tangente no lado esquerdo da equação,
e à direita,
eles vão apenas anotar isso.
Então nossa equação do plano tangente é
nossa variável tangente é igual
à função neste exato ponto,
e então derivadas parciais foram multiplicadas pela mudança
de argumentos x e y respectivamente.
Então vamos, por exemplo,
olhar para o caso da função discutida anteriormente,
raiz quadrada do valor absoluto do produto x e y.
Nós realmente já afirmámos que o ponto 0,0
ambos os nossos derivados parciais
são realmente igual a zero.
Ok, então eu vou apenas anotar.
Ok, tudo bem.
Vamos prosseguir com uma equação real.
Precisamos escrever z igual a.
Em primeiro lugar, o valor da nossa função no ponto 0,0.
Bem, o valor absoluto de zero é zero,
então foi bem fácil.
Então precisamos escrever
nossa derivada parcial para x multiplicado
por x menos 0
mais derivada parcial para
y multiplicado por y menos 0.
Bem, essa é bem fácil.
Então a coisa é que nós
vamos chamar nosso plano tangente,
esses pontos certos para a função raiz quadrada
de multiplicação de x e y é plano horizontal.
Os planos que coincidem com 0 x,
y plano do espaço tridimensional.
Certo, e isso é legal.
É uma boa maneira de definir nosso plano tangente.