Итак, теперь мы знаем, что такое частичная производная.
Итак, давайте перейдем
к фактическому уравнению касательной линии.
Итак, что мы знаем сейчас,
мы знаем две прямые линии,
касательные линии в двух поперечных сечениях с двумя потоками,
x равным a и y равным b,
которые определенно находятся в нашей касательной плоскости.
Так достаточно ли
написать уравнение этой плоскости?
Ну, оказывается, что так и есть.
Во-первых, нам нужно
пересмотреть некоторые основные вещи о уравнении плоскости.
Как мы начинаем со скалярного уравнения плоскости,
которая выглядит следующим образом.
Это скалярный продукт или просто
в результате умножения и
суммирования двух основных сущностей.
Таким образом, мы предполагаем, что мы пытаемся охарактеризовать
произвольную точку нашего плана x
, y, z, и поэтому мы собираемся сделать это двумя сценами.
Один, учитывая точку нашей плоскости, например x_0,
y_0 и z_0, и
вектор, который является ортогональным для всей нашей плоскости.
Другими словами, он ортогонален для
любого вектора, который фактически лицензирует плоскость.
Так что мы собираемся сказать, что скалярное уравнение
в основном идея, что эти два вектора ортогональны,
или иным образом,
мы собираемся умножить наши координаты
ортогонального вектора и
вектора, который определенно лежит в плоскости,
которая является вектором между точка x, y,
z, наша произвольная точка и точка x_0, y_0 и z_0.
Это наше уравнение плоскости.
На самом деле это не единственное, что мы
можем определить наш самолет,
но это довольно удобно, и он
обычно используется во многих случаях.
Итак, еще одна вещь, которую я
собираюсь напомнить вам, - это концепция скалярного продукта,
которая представляет собой отображение из двух векторов в
реальные числа, и она работает в значительной степени, как мы говорили выше.
Это просто суммирование
умноженных координат двух векторов.
Это в значительной степени то, что мы
сделали в нашей плоскости скалярных уравнений,
и это ваша ответственность
знать, но давайте повторить,
скалярный проект имеет свое геометрическое значение,
что в основном произведение длин
двух векторов, умноженных
на косинус угла между ними.
Вы также должны учитывать, что в двухмерных случаях,
многомерных случаях и пространствах трех
, четырех и других измерений,
это в основном определение угла.
Таким образом, это не совсем простой способ
прокатиться со скалярным продуктом здесь.
На самом деле это очень сложно.
Но он производит некоторые другие 3D-сцены
здесь, потому что то, что мы собираемся сказать, глядя на
наше умножение функцией косинуса,
является то, что ортогональный случай
фактически характеризуется значением
скалярного произведения, если два вектора ортогональны,
что означает, что они имеют угол половины Pi.
Таким образом, косинус половины Pi равен нулю,
поэтому умножение на функцию косинуса приводит к
нулю в качестве результата скалярного проекта.
Так что в основном, так
можно определить, что два вектора ортогональны.
Так как же мы будем использовать его.
Мы собираемся использовать его следующим образом.
Прежде всего, мы знаем точку, которая
определенно принадлежит нашей касательной плоскости.
Это точка a, b, f от a, b.
Это то,
что мы ожидаем, это точка нашего приближения.
Поэтому нам нужно найти
ортогональный вектор для всех наших касательных плоскостей здесь,
но мы знаем, что знаем, что мы знаем
два вектора, которые
имеют направление для наших касательных линий, которые мы упомянули, пока
мы определяли наши частичные производные.
Они направлены для наших касательных линий.
Другими словами, мы знаем, что
одна из переменных при
расчете частичных производных была фиксирована.
Например, в то время как мы определяли
как частичная производная y были фиксированы,
таким образом, означает, что координата y
вектора направления
этой касательной линии равна нулю.
То же самое касается случая y
и x-координаты в данном случае.
Так что у нас на самом деле два вектора.
1,0 частичная производная к х,
и 0,1 частичная производная производная к y,
что приводит к 2х как
определенно лежит в нашей касательной плоскости.
Так что да, мы это знаем.
Нам нужно построить другой вектор,
третий вектор, который ортогонален этим двум,
и это довольно просто.
Просто позволь нам вернуться к этому.
Это вектор, который является частичной производной к х,
частичной производной к y и минус один.
Допустим, что в то время как мы можем вычислить
этот скалярный продукт с
первым вектором здесь и вторым вектором здесь,
мы почти определенно собираемся получить ноль.
Ну, это легко, потому что мы умножаем
1 на некоторую частичную производную,
а затем минус 1 на
очень много частичных производных ответов
в суммировании мы получаем ноль.
Итак, теперь мы можем написать наше скалярное уравнение
плоскости и с простым преобразованием,
потому что приятно иметь эту тангенсную
переменную на левой стороне уравнения
, а справа
они просто записать это.
Таким образом, наше уравнение касательной плоскости является
наша тангенсная переменная равна
функции в этой самой точке,
а затем частичные производные умножались на изменение
аргументов x и y соответственно.
Так давайте, например,
посмотрим на случай ранее обсуждаемой функции,
квадратный корень из абсолютного значения продукта x и y.
Мы фактически уже заявили, что точка 0,0
обе наши частичные производные
фактически равны нулю.
Хорошо, так что я просто запишу это.
Ладно, это нормально.
Давайте приступим к фактическому уравнению.
Нам нужно написать z равно.
Прежде всего, значение нашей функции в точке 0,0.
Ну, абсолютное значение нуля равно нулю,
так что это было довольно легко.
Затем нам нужно записать
нашу частичную производную в сторону х
умноженную на х минус 0
плюс частичную производную к
y умноженную на y минус 0.
Ну, это довольно легко.
Итак, дело в том, что мы
собираемся называть нашу касательную плоскость,
эти правые точки для функции квадратного корня
от умножения x и y горизонтальная плоскость.
Плоскости, совпадающие с
плоскостью 0 x, y трехмерного пространства.
Хорошо, и это мило.
Это прекрасный способ определить нашу касательную плоскость.