[MÚSICA]
Lo último que hemos cubierto es la definición de diferenciabilidad y
es bastante complicado, ¿verdad?
Por supuesto, acabo de decirte que tu vida se volvió lo suficientemente dura aquí,
lo suficientemente complicada.
Así que veamos lo que realmente significa.
Bueno, en primer lugar,
hay una línea bastante fina entre la diferenciabilidad y los derivados.
Y en realidad hemos visto esto en nuestra
raíz cuadrada desde el valor absoluto de x multiplicado por el caso y.
Recuerdas que es un plano tangente.
Voy a escribir por capital aquí es zed igual a 0, ¿verdad?
Así que lo que vamos a ver aquí que es diferenciable en caso de que
nuestro esfuerzo hacia la función xy, nuestra raíz cuadrada desde el valor absoluto es en realidad
se puede aproximar correctamente con solo 0 simple, ¿verdad?
Y es una especie de [inaudible] aquí.
Así que vamos a comprobar esto a fondo.
Entonces, ¿qué vamos a comprobar aquí?
Vamos a comprobar esa raíz cuadrada de x multiplicada por y.
En realidad es poco, o
infinitesimal hacia la distancia entre el punto xy y el
punto 0,0, derecha, xy y 0,0 aquí.
Así que por el teorema de Pitágoras,
es la raíz cuadrada de x cuadrado más y cuadrado, ¿verdad?
Bien, entonces lo que vamos a hacer para comprobar si es verdad o no.
A medida que x e y se aproximan
a 0 simultáneamente, necesitamos verificar la definición de la pequeña anotación,
que es que la relación entre la parte izquierda y la parte derecha es infinitesimal.
Entonces, para hacer esto, necesitamos calcular el límite donde los
libros x e y se aproximan a cero.
Y estamos mirando la raíz cuadrada de
x multiplicada por y y ideada por
raíz cuadrada de x cuadrado más y cuadrado.
Y voy a usar la raíz cuadrada común aquí y escribir esto.
Y en este mismo punto, todos ustedes saben la respuesta porque
en realidad hemos hablado de este límite mientras que en realidad estábamos definiendo
el límite de funciones multivariadas en los videos anteriores.
Porque si podemos ver el solo caso de hacha
igual a y es igual a algún parámetro t,
entonces vemos claramente que esta función se
convierte en una raíz cuadrada de una mitad.
Porque bueno, en el nominador es simplemente t cuadrado y
en el denominador, es solo cuadrados veces 2 por
lo que se acerca a la mitad.
Bueno, raíz cuadrada de una mitad y no cero [INAUDIBLE].
Esta relación no se mantiene.
Voy a ir a la derecha en el signo de calidad aquí y nuestra función raíz cuadrada
del valor absoluto de x multiplicado por y no es diferenciable en el punto 0,0.
En otras palabras, los planes que en realidad hemos ideado con
un candidato al plano tangente no es una aproximación perfecta aquí.
Y veamos sólo una foto aquí.
Es bastante esperable, ¿verdad?
Porque aquí vemos en 0,0 punto, algún pico, a la
derecha, este tipo de [INAUDIBLE].
Y como usted recordará en una sola palabra casos,
este pico, este borde afilado es lo primero que para
señal de que usted va a tener no sólo una aproximación lineal perfecta aquí.
Así que es básicamente [INAUDIBLE] en un caso múltiple, pero es su,
recuerde la construcción, esta imagen de la superficie es bastante difícil.
Así que es bueno que podamos hacerlo analíticamente
sin ningún puerto de computadora extenso en ayuda.
Aquí hay otro ejemplo complicado.
Supongamos que estamos viendo esta función definida [INAUDIBLE].
Se define en cada punto como la multiplicación de la función polinómica y la
función sinusoidal.
Y el punto cero, es tan [INAUDIBLE].
En primer lugar, pensemos en sus derivados parciales.
Bueno, para hacerlo en primer lugar, tenemos que sustituir
nuestra función y en nuestra función, que es su,
lo que da como resultado dos x cuadrados multiplicados por seno de x [INAUDIBLE] menos 2.
Si x no es un 0, correcto, y un 0 si x es 0,
tendrá que recordar que si se trata de una definición,
va a ser la mayoría de los casos la misma definición [INAUDIBLE].
Y bueno, la vida no se pone fácil en este punto,
pero se vuelve más fácil después porque como hemos dicho ese es el caso en el que
vamos a tener que revisar nuestra definición de la derivada.
Y para hacerlo, tenemos que escribir nuestra definición como límites, ¿verdad?
A medida que x se aproxima a 0, necesitamos encontrar el límite del cambio de la función,
que es x cuadrado multiplicado por seno de x [INAUDIBLE] menos 1.
Y el valor de la función en el punto de
diferenciación, que es 0 aquí, ¿verdad?
Y el cambio de nuestro argumento que es x menos 0, que es 0.
Y como resultado, obtenemos como x se acerca a 0,
función x porque podemos simplemente,
Dividir por x en el denominador y el denominador como resultado.
Obtenemos x multiplicado por la función sinusoidal de potencia menos uno,
y es, hay límites que hemos
visto antes porque las funciones x son infinitesimales.
Y el punto cero y la función sinusoidal está comprando delimitado.
Por lo tanto, obtenemos 0 como resultado.
Así que nuestra derivada parcial aquí es igual a 0,
el mismo truco para la derivada parcial hacia y.
Así que la función que estábamos viendo tiene
el mismo candidato como derivada parcial de y
como el mismo candidato
que los planos tangentes aquí, que es igual al plano 0, ¿Verdad?
Reiteremos esto, ¿vale?
Entonces, ¿realmente significa que vamos a tener un ejemplo de pesadilla
como en el video anterior otra vez y la función es no diferenciable?
Bueno, vamos a ver.
Bueno, en realidad decidió que necesitamos es en
el caso anterior para encontrar el límite de la función,
menos que es un plano tangente, que es 0.
Es bastante, [INAUDIBLE]
dividido por la raíz cuadrada de x cuadrado más y cuadrado y
aquí es donde se ha vuelto bastante agradable porque se puede
dividir el denominador y el numerador por el denominador.
Y como resultado, el poder uno está en x cuadrado más y
cuadrado se convierte en una raíz cuadrada en el denominador.
Pero todavía es la función infinitesimal y el signo sigue siendo bueno,
[INAUDIBLE] enfoque no se acerca a nada, pero está limitado.
Pero limitado multiplicado por infinitesimal es todavía infinitesimal y por
lo tanto obtenemos nuestro 0 es el resultado.
Así que tomemos el hecho.
Estas funciones feas, bueno,
no la más bonita en realidad es diferenciable.
Es nuestro punto 0,0, pero la raíz cuadrada más bonita no es diferenciable.
Eso es la vida, lo siento.
De acuerdo, ese fue otro ejemplo.
Y una vez más, sólo voy a estirar esto es que vamos a
ser extremadamente cautelosos con nuestra definición de diferenciabilidad y
nuestro cálculo de derivados parciales a partir de ahora.
[ SONIDO]