[MUSIC]
L'ultima cosa che abbiamo trattato è la definizione di differenziabilità ed
è piuttosto difficile, giusto?
Certo, ti ho appena detto che la tua vita e' diventata abbastanza dura qui,
abbastanza piu' complicata.
Vediamo cosa significa veramente.
Beh, prima di tutto,
c'è una linea piuttosto sottile tra differenziabilità e derivati.
E in realtà abbiamo guardato questo alla nostra
radice quadrata dal valore assoluto di x moltiplicato per y caso.
Ti ricordi che è un piano tangente.
Ho intenzione di scrivere da capitale qui è zed uguale a 0, giusto?
Quindi la cosa che vedremo qui che è differenziabile nel caso in cui il
nostro sforzo verso la funzione xy, la nostra radice quadrata dal valore assoluto è in realtà
può essere correttamente approssimata solo dal semplice 0, giusto?
Ed è un po' [INUDIBILE] qui dentro.
Quindi cerchiamo di controllare attentamente questo.
Allora, cosa controlleremo qui?
Stiamo andando a controllare quella radice quadrata di x moltiplicata per y.
In realtà è poco, o
infinitesimale verso la distanza tra il punto xy e il
punto 0,0, destra, xy e 0,0 qui.
Quindi per il Teorema di Pitagora,
è radice quadrata da x al quadrato più y al quadrato, giusto?
Ok, allora cosa faremo per verificare se e' vero o no.
Come x e y si avvicina
a 0 contemporaneamente, quindi abbiamo bisogno di controllare la definizione della piccola annotazione,
che è che la relazione tra la parte sinistra e la parte destra è infinitesimale.
Quindi, per fare questo, dobbiamo calcolare il limite in cui i
libri x e y si avvicinano a zero.
E stiamo guardando la radice quadrata da
x moltiplicata per y e ideata per
radice quadrata da x al quadrato più y al quadrato.
E sto andando a usare solo la radice quadrata comune qui e scrivere questo.
E a questo punto, conoscete tutti la risposta perché
in realtà abbiamo parlato di questo limite mentre in realtà stavamo definendo
il limite delle funzioni multi-variate nei video precedenti.
Perché se possiamo vedere il solo caso di ax
uguale a y è uguale a qualche parametro t,
allora vediamo chiaramente che questa funzione si
trasforma in appena radice quadrata di una metà.
Perché bene, nel nominator è solo t al quadrato e
nel denominatore, è solo al quadrato per 2 quindi
si avvicina alla metà.
Bene, radice quadrata di metà e non zero [INUDIBILE].
Questa relazione non regge.
Ho intenzione di andare a destra nel segno di qualità qui e la nostra funzione radice quadrata
del valore assoluto di x moltiplicato per y non è differenziabile al punto 0,0.
In altre parole, i piani che abbiamo effettivamente escogitato con
un candidato al piano tangente non è una perfetta approssimazione qui.
E vediamo solo una foto qui.
E' abbastanza prevedibile, vero?
Perché qui vediamo a 0,0 punto, qualche picco,
giusto, questo tipo di [INUDIBILE].
E come ricorderete in una sola parola casi,
questo picco, questo bordo affilato è la prima cosa che per
segno che si sta andando ad avere non solo una perfetta approssimazione lineare qui.
Quindi è fondamentalmente [INUDIBILE] in un caso multi-variate, ma è il vostro,
ricordate la costruzione, questa immagine di superficie è abbastanza difficile.
Quindi è bello che possiamo farlo solo analiticamente
senza porte di computer estese in aiuto.
Ecco un altro esempio difficile qui.
Supponiamo che stiamo guardando a questa funzione definita [INUDIBLE].
È definito in ogni punto come moltiplicazione della funzione polinomiale e
funzione sinusoidale.
E il punto zero, è proprio come [INUDIBILE].
Innanzi tutto, pensiamo ai suoi derivati parziali.
Bene, per farlo in primo luogo, abbiamo bisogno di sostituire la
nostra funzione y alla nostra funzione, che è la tua,
che si traduce in due x al quadrato moltiplicato per seno di x [INUDIBILE] meno 2.
Se x non è uno 0, giusto, e uno 0 se x è 0,
sarà necessario ricordare che se si trattava di una definizione,
sarà la maggior parte dei casi la stessa definizione [INUDIBLE].
E beh, la vita non diventa facile a questo punto, ma
diventa più facile più tardi perché come abbiamo detto questo è il caso in cui
dovremo rivedere la nostra definizione del derivato.
E per farlo, dobbiamo semplicemente scrivere la nostra definizione come un limite, giusto?
Come x si avvicina a 0, dobbiamo trovare il limite del cambiamento della funzione,
che è x al quadrato moltiplicato per seno di x [INUDIBILE] meno 1.
E il valore della funzione nel punto di
differenziazione, che è 0 qui, giusto?
E il cambiamento del nostro argomento che è x meno 0, che è 0.
E come risultato, otteniamo come x si avvicina 0,
funzione x perché possiamo solo,
Dividere per x nel denominatore e denominatore come risultato.
Otteniamo x moltiplicato per funzione sinusoidale di potenza meno uno,
ed è, ci sono limiti che abbiamo effettivamente
visto prima perché le funzioni x è infinitesimale.
E il punto zero e la funzione sinusoidale è l'acquisto limitato.
Così otteniamo 0 come risultato.
Quindi la nostra derivata parziale qui è uguale a 0,
la stessa bravata per la derivata parziale verso y.
Quindi la funzione che stavamo effettivamente guardando ha
lo stesso candidato come derivata parziale di e
come lo stesso candidato dei piani tangenti qui,
che è che è uguale al piano 0, Giusto?
Ripetiamolo, ok?
Quindi significa in realtà che stiamo andando ad avere un esempio da incubo
come nel video precedente di nuovo e la funzione è non differenziabile?
Beh, vediamo.
Beh, in realtà deciso che abbiamo bisogno è
nel caso precedente per trovare il limite della funzione,
meno è un piano tangente, che è 0.
È abbastanza, [INUDIBILE]
diviso per la radice quadrata di x al quadrato più y al quadrato e
qui è dove è diventato abbastanza bello perché puoi solo
dividere il denominatore e il numeratore per il denominatore.
E come risultato, il potere uno è in x al quadrato più y al
quadrato si trasforma in una radice quadrata nel denominatore.
Ma è ancora funzione infinitesimale e segno è ancora bene,
[INUDIBILE] approccio non si avvicina a nulla, ma è limitato.
Ma limitato moltiplicato per infinitesimale è ancora infinitesimale e
quindi otteniamo il nostro 0 è il risultato.
Quindi lasciamoci prendere il fatto.
Queste funzionano brutte, beh,
non la più bella in realtà è differenziabile.
È il nostro punto 0,0 ma più bella radice quadrata non è differenziabile.
Questa è la vita, mi dispiace.
Ok, questo era un altro esempio.
E ancora una volta, ho intenzione di estendere questo è che
saremo estremamente cauti con la nostra definizione di differenziabilità e il
nostro calcolo di derivati parziali da ora.
[ SUONO]