[MÚSICA]
A última coisa que abordamos é a definição de diferenciabilidade e
é bastante complicado, certo?
Claro, acabei de te dizer que a tua vida ficou suficientemente dura aqui,
suficientemente mais complicada.
Então vamos ver o que isso realmente significa.
Bem, em primeiro lugar,
há uma linha bastante tênue entre diferenciabilidade e derivados.
E nós realmente temos olhado para isso em nossa
raiz quadrada do valor absoluto de x multiplicado por y caso.
Você se lembra que é plano tangente.
Eu vou apenas escrever por capital aqui é Zed igual a 0, certo?
Então a coisa que vamos ver aqui que é diferenciável no caso de
nosso esforço para a função xy, nossa raiz quadrada do valor absoluto é realmente
pode ser devidamente aproximada por apenas 0 simples, certo?
E é meio que [INAUDÍVEL] aqui.
Então vamos verificar isso cuidadosamente.
Então, o que vamos verificar aqui?
Vamos verificar essa raiz quadrada de x multiplicada por y.
na verdade é pouco, ou
infinitesimal para a distância entre o ponto xy e
ponto 0,0, direita, xy e 0,0 aqui.
Então, pelo Teorema de Pitágoras,
é raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado, certo?
Certo, então o que vamos fazer para verificar se é verdade ou não.
Como x e y se aproxima de 0 simultaneamente, então
precisamos verificar a definição da pequena anotação,
que é que a relação entre a parte esquerda e a parte direita é infinitesimal.
Então, a fim de fazer isso, precisamos calcular o limite em que x e
y livros se aproxima de zero.
E estamos olhando para a raiz quadrada de
x multiplicado por y e concebido pela
raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado.
E eu vou usar a raiz quadrada comum aqui e anotar isso.
E neste exato ponto, todos vocês sabem a resposta porque nós
realmente falamos sobre esse limite enquanto estávamos realmente definindo
o limite de funções multivariadas nos vídeos anteriores.
Porque se podemos ver o apenas o caso de ax
igual a y é igual a algum parâmetro t,
então vemos claramente que esta função se
transforma em apenas raiz quadrada de uma metade.
Porque bem, no nominador é que é apenas t ao quadrado e
no denominador, é apenas ao quadrado vezes 2 então
ele se aproxima da metade.
Bem, raiz quadrada de metade e não zero [INAUDÍVEL].
Esta relação não se mantém.
Eu vou entrar na direita no sinal de qualidade aqui e nossa função raiz quadrada
do valor absoluto de x multiplicado por y não é diferenciável no ponto 0,0.
Em outras palavras, os planos que temos realmente vir acima com
um candidato a plano tangente não é uma aproximação perfeita aqui.
E vamos ver apenas uma foto aqui.
É bastante esperado, certo?
Porque aqui vemos em 0,0 ponto, algum pico,
certo, este tipo de [INAUDÍVEL].
E como você vai se lembrar em uma única palavra casos,
este pico, esta borda afiada é a primeira coisa
que para sinal de que você não vai ter apenas uma aproximação linear perfeita aqui.
Então é basicamente [INAUDÍVEL] em um caso multi-variado, mas é o seu,
lembre-se da construção, esta imagem de superfície é bastante difícil.
Então, é bom que possamos fazê-lo apenas analiticamente
sem quaisquer portas extensas de computador em ajuda.
Aqui está outro exemplo complicado.
Suponha que estamos olhando para esta função definida [INAUDIBLE].
É definido em cada ponto como multiplicação de função polinomial e
função seno.
E o ponto muito zero, é assim como [INAUDÍVEL].
Em primeiro lugar, vamos pensar sobre seus derivados parciais.
Bem, para fazer isso em primeiro lugar, precisamos substituir
nossa função y em nossa função, que é sua, o
que resulta em dois x ao quadrado multiplicado pelo seno de x [INAUDÍVEL] menos 2.
Se x não for um 0, certo, e um 0 se x for 0,
você precisará lembrar que se for uma definição,
será a maioria dos casos a mesma definição [INAUDÍVEL].
E bem, a vida não fica fácil neste ponto,
mas fica mais fácil mais tarde porque, como
dissemos, esse é o caso em que precisaremos rever nossa definição da derivada.
E para isso, precisamos escrever nossa definição como limites, certo?
Como x se aproxima de 0, precisamos encontrar o limite da mudança da função,
que é x ao quadrado multiplicado pelo seno de x [INAUDÍVEL] menos 1.
E o valor da função no ponto de
diferenciação, que é 0 aqui, certo?
E a mudança do nosso argumento que é x menos 0, que é 0.
E como resultado, obtemos como x se aproxima 0,
função x porque podemos apenas,
Dividir por x no denominador e denominador como resultado.
Nós obtemos x multiplicado pela função seno de poder menos um,
e é, há limites que realmente
vimos anteriormente porque as funções x é infinitesimal.
E o ponto zero e a função seno está comprando limitado.
Assim, obtemos 0 como resultado.
Então nossa derivada parcial aqui é igual a 0,
o mesmo golpe para a derivada parcial em direção
a y. então a função que estávamos realmente olhando tem
o mesmo candidato como derivada parcial de e
como o mesmo candidato que planos tangentes aqui,
que é apenas igual ao plano 0, Certo?
Vamos reiterar isto, está bem?
Então, isso realmente significa que vamos ter um exemplo de pesadelo
como no vídeo anterior novamente e função é indiferenciável?
Bem, vamos ver.
Bem, na verdade decidiu que precisamos é
no caso anterior para encontrar o limite da função,
menos é um plano tangente, que é 0.
É bastante, [INAUDÍVEL]
dividido pela raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado e
aqui é onde ele se tornou bastante agradável porque você pode simplesmente
dividir o denominador e numerador pelo denominador.
E como resultado, o poder é em x ao quadrado mais y
ao quadrado se transforma em uma raiz quadrada no denominador.
Mas ainda é função infinitesimal e sinal ainda está bem,
[INAUDÍVEL] abordagem é não se aproxima de nada, mas é limitado.
Mas limitado multiplicado por infinitesimal ainda é infinitesimal e
assim obtemos o nosso 0 é o resultado.
Então, deixe-nos levar o fato.
Estes função feio, bem,
não o mais bonito realmente é diferenciável.
É o nosso 0,0 ponto, mas a raiz quadrada mais bonita não é diferenciável.
Isso é a vida, desculpe.
Certo, então esse foi outro exemplo.
E mais uma vez, eu só vou esticar isso é que nós vamos
ser extremamente cautelosos com nossa definição de diferenciabilidade e
nosso cálculo de derivativos parciais a partir de agora.
[ SOM]