Da wir also tatsächlich eine
Ableitung für multivariaten Fall
ausgedacht haben, sollten wir über zweite partielle Derivate nachdenken, wie wir es im Einzelvariatfall getan haben, wenn wir über
die Ableitung nachdachten und dann
über die Geschwindigkeit oder die Geschwindigkeit der Veränderung nachgedacht haben, richtig?
Also, lassen Sie uns hier ein anderes lustiges Schema zeichnen.
Also zuerst haben wir hier unsere Funktion, richtig.
Das ist unsere Funktionsebene.
Dann differenzieren wir es jeweils durch X und Y.
Also bekommen wir Teilderivate
des Gradienten hier, richtig?
Das ist also schön und erwartet, und wir wissen es,
und dann kommt die Reihe
der zweiten Teilderivate.
Wie immer denken wir an die
zweite partielle Ableitung als
Ableitung eines Derivats.
Aber jetzt können wir entweder durch X oder Y differenzieren.
So
bekommen wir
hier anstelle einer zweiten Ableitung gut ein, zwei, drei, vier Teilderivate.
Gut in Richtung X zweimal in Richtung X und Y,
Y und X und Y zweimal.
Nun, die Notation, die wir hier tatsächlich sehen,
weil es nun nur
versucht, die Reihenfolge und
die Differenzierung, die
wir hier tatsächlich entwickelt haben, hervorzuheben.
Mit anderen Worten, was wir tun,
wir unterscheiden nur die Funktion
einmal und dann tun es eine andere Differenzierung.
Also berechnen wir partielle Ableitung zu X und
dann berechnen wir die Ableitung seiner
Ableitung in Richtung Y, richtig?
Also und um es zu beenden,
werden wir sprechen können auf Notation sein,
und es ist nur eine Operatornotation,
und das ist erwartungsvoll, denn
wenn wir
über die Ableitung für Single-Variablen-Funktionen gesprochen haben,
haben wir über den Operator gesprochen, der
erste Ableitung d in Richtung dx nimmt , stimmt's?
Also hier ist es immer noch das gleiche,
nimmt an, dass wir
zum Beispiel unsere erste partielle Ableitung zu X haben,
es ist eine Prozedur, wenn wir
tatsächlich als Eingabefunktion F bekommen,
und als Ergebnis geben wir unsere partiellen Ableitungen zurück.
Also, indem wir F hinter
oder nur die Symbole in dieser Notation setzen,
erhalten wir F, das ein Argument für diese Prozedur ist
und dann im Grunde das Symbol für
diese Prozedur ist es nur eine Anweisung, was zu tun ist.
Um also die zweite partielle Ableitung zu berechnen,
müssen wir
diesen Operator mehrere Versuche anwenden, zwei Mal tatsächlich.
Zuerst werden wir zum
Beispiel die Differenzierungsrate durch X und dann Differenzierung durch Y anwenden.
Okay? Wie Sie vielleicht sehen,
ist die Reihenfolge der Differenzierung hier schwierig, weil,
wenn Sie nur diesen Bruchteil und Bruchteil der
Differenzierung mit Y und partieller Ableitung für X multiplizieren, richtig?
Sie bekommen in der Nenner Reihenfolge
partiell Y Teil X, richtig?
Aber was die Notation betrifft, die
wir bereits besprochen haben, wird einfach Indizes verwenden,
wir haben die letzte Differenzierung geschrieben richtig?
Es ist also schwierig, dass
wir jetzt das Problem der Ordnung
der Differenzierung selbst diskutieren werden und es
wird später nicht so eine Masse sein.
Aber nun lassen Sie uns einige Beispiele betrachten.
Lassen Sie uns zuerst einen Blick auf
die Funktion X Leistung zu Y-Quadrat.
Noch einmal werde ich Sie nur daran erinnern, dass, wenn
wir eine solche mehrstufige Macht haben,
dann werden wir von oben nach unten bewegen, oder?
So etwas wie das.
Also müssen wir zuerst XY quadriert berechnen und
dann X in die Macht von Y-squared setzen.
Ok? Beginnen wir also mit Basic, fangen
wir mit Gradienten an.
Ok?
Partielle Ableitung in Richtung X
partielle Derivate
in Richtung Y. Also gegenüber X, es ist einfach eine polynomische Funktion.
So erhalten wir AX-Potenzen von Y quadriert minus eins,
multipliziert mit Y quadriert, richtig?
Wir müssen es aufschreiben,
und immer noch was X ist.
Was ist Y, es ist nur eine exponentielle Funktion, die mit
einer schönen exponentiellen Form hier.
Also werden wir unseren Logarithmus X multipliziert mit
X über Y quadriert schreiben und dann
sollten wir uns daran erinnern, dass es
eine Komposition von zwei Funktionen
ist, die A in Kraft von X und X quadriert ist, richtig?
Also müssen wir alles mit 2Y multiplizieren.
Schön, dann können wir zum Beispiel mit der
zweiten Ableitung
in Richtung X zwei Mal fortfahren, und um dies zu tun, müssen wir
das Ergebnis
unserer ersten partiellen Ableitung durch X unterscheiden,
Y quadriert ist eine Konstante in Richtung X so bleibt es,
und dann erhalten wir in anderen Fall von Polynomen -Funktion.
Also müssen wir nur die Macht
als Multiplikator hinter sich bewegen und die Leistung um eins verringern.
So erhalten wir als Ergebnis XY
quadriert und multiplizieren mit Y-Quadrat minus eins,
multipliziert mit X Potenz Y quadriert minus zwei.
Also, lassen Sie uns
eine andere annehmen, die in Richtung X und
Y abgeleitet ist. Ich werde nur
schreiben, dass wir dasselbe in Richtung Y differenzieren müssen,
und so erhalten wir die Ableitung der Multiplikation,
die zwei Y ist multipliziert
mit X angetrieben Y-Quadrat minus eins,
plus Y quadrat multipliziert mit dem Logarithmus von X mit
dem gleichen X angetriebenen Y Quadrat minus eins,
multipliziert mit zwei Ys.
Awesome, gut und vielleicht für den letzten,
werde ich jetzt die Ableitung
in Richtung Y und dann in Richtung X berechnen,
nur weil, wie wir später sehen werden, es gibt
eine Distanz, die hier zusammenfällt.
Also, was für den Fall
der Ableitung in Richtung Y zweimal ist,
müssen wir
Logarithmus X multipliziert mit X angetrieben Y
Quadrat multipliziert mit zwei Ys in Richtung Y unterscheiden,
was wieder Logarithmus X ist eine Konstante,
dann bekommen wir zwei als Konstante und dann
erhalten wir die Derivat des Produkts,
und okay, lassen Sie es uns einfach aufschreiben.
Es ist langweilig. Und
sie werden hier keine kostbare Zeit verschwenden.
Okay, was war der Prozess der Berechnung
aller möglichen Pfade Teilderivate
für unsere gegebene Funktion,
das war ziemlich anspruchsvoll.
Okay, damit wir das nächste Video sehen können.