Así que ya que en realidad hemos llegado con la
forma derivada para caso multivariado,
deberíamos pensar en los
segundos derivados parciales como lo hicimos en
el caso de variada única cuando pensamos en
la derivada y luego
pensamos en la velocidad o la velocidad del cambio, ¿verdad?
Por lo tanto, dibujemos otro esquema divertido aquí.
Así que antes que nada tenemos nuestra función aquí, ¿verdad?
Ese es nuestro nivel de función.
Luego lo diferenciamos por X e Y respectivamente.
Así obtenemos derivados parciales
del gradiente en absoluto aquí, ¿verdad?
Así que eso es bueno y esperado y lo sabemos,
y luego viene el turno
de los segundos derivados parciales.
Como siempre pensamos en la
segunda derivada parcial como
derivada de una derivada.
Pero ahora podemos diferenciar ya sea por X o Y.
Así, en lugar de un segundo derivado,
obtenemos bien uno,
dos, tres, cuatro derivados parciales aquí.
Bien hacia X dos veces hacia X e Y,
Y y X e Y dos veces.
Bueno, la notación que realmente vemos aquí
porque bueno sólo trata de
enfatizar el orden y
el conjunto de diferenciación que
en realidad hemos encontrado aquí.
En otras palabras, lo que
hacemos, simplemente diferenciamos la función una
vez y luego lo hacemos otra diferenciación.
Así que calculamos derivada parcial hacia X y
luego calculamos la derivada de su
derivada hacia Y, ¿verdad?
Entonces, y para terminarlo,
vamos a hablar puede ser en notación,
y es solo una notación de operador,
y eso es esperable porque
cuando hemos estado
hablando de la derivada para funciones de una sola variable,
hemos hablado del operador de
tomar la primera derivada d hacia dx , ¿verdad?
Así que aquí sigue siendo el mismo,
asume que tenemos nuestra primera
derivada parcial hacia X por ejemplo,
es un procedimiento cuando
realmente obtenemos como una función de entrada F,
y como resultado devolvemos nuestros derivados parciales.
Así que simplemente poniendo F detrás
o simplemente los símbolos en esta notación,
obtenemos F que es un argumento para este procedimiento
y luego básicamente el símbolo para
este procedimiento es solo una instrucción de qué hacer.
Así que para calcular la segunda derivada parcial,
tenemos que aplicar
este operador varios intentos, dos veces en realidad.
Primero aplicaremos la tasa de diferenciación por
X, por ejemplo, y luego la diferenciación por Y.
¿De acuerdo? Como pueden ver,
el orden de diferenciación aquí es complicado porque,
si solo multiplicas esta fracción y fracción de
diferenciación por Y y derivada parcial para X, ¿verdad?
Usted consigue en el orden del denominador
Y parcial X, ¿verdad?
Pero en cuanto a la notación
que discutimos anteriormente simplemente usará índices,
hemos escrito la última diferenciación, ¿verdad?
Así que es complicado
ahora mismo que vamos a discutir el problema del orden
de diferenciación en sí mismo y
no va a ser tal masa más adelante.
Pero ahora consideremos algunos ejemplos.
Primero vamos a echar un vistazo a
la función X potencia a Y-cuadrado.
Una vez más voy a recordarles que si
tenemos tal poder multietapa,
entonces vamos a pasar de arriba a abajo, ¿verdad?
Así que algo como esto.
Así que tenemos que calcular primero XY al cuadrado y
luego poner X en el poder de Y-cuadrado.
¿ Está bien? Así que comencemos con básico,
comencemos con gradiente.
¿ Está bien?
Derivada
parcial hacia X derivadas parciales hacia Y.
Así que hacia X, es simplemente una función polinomial.
Así obtenemos poderes AX de Y cuadrado menos uno,
multiplicados por Y cuadrado, ¿verdad?
Tenemos que escribirlo,
y aún así lo que es X.
¿Qué es Y es solo una función exponencial que con
una buena forma exponencial aquí.
Así que vamos a escribir nuestro logaritmo X multiplicado por
X sobre Y cuadrado y entonces
debemos recordar que es
una composición de dos funciones que
es A en potencia de X y X al cuadrado, ¿verdad?
Así que tenemos que multiplicar todo por 2Y.
Agradable, entonces podemos proceder con, por ejemplo,
segunda derivada hacia X dos veces,
y para ello necesitamos
diferenciar el resultado de
nuestra primera derivada parcial por X,
Y cuadrado es una constante hacia X por lo que permanece,
y luego obtenemos en otro caso de polinomio función.
Así que sólo tenemos que mover la potencia como
un multiplicador detrás y disminuir la potencia en uno.
Así que obtenemos como resultado
XY cuadrado y multiplicado por Y cuadrado menos uno,
multiplicado por X potencia Y cuadrado menos dos.
Entonces, supongamos
otro que es derivado hacia X e
Y. Voy a
escribir que necesitamos diferenciar lo mismo hacia Y,
y así obtenemos la derivada de la multiplicación,
que es dos Y
multiplicado por X y cuadrado menos uno,
más Y cuadrado multiplicado por el logaritmo de X por
el mismo Y alimentado por X al cuadrado menos uno,
multiplicado por dos Y's.
Impresionante, bueno y tal vez para el último,
ahora voy a calcular la derivada
hacia Y y luego hacia X,
sólo porque como veremos más adelante hay
una distancia para coincidir aquí.
Entonces, ¿qué es para el caso
de la derivada hacia Y dos veces,
vamos a necesitar diferenciar el
logaritmo X multiplicado por X impulsado por Y
cuadrado multiplicado por dos Ys hacia Y,
que es una vez más el logaritmo X es una constante,
luego obtenemos dos como una constante y luego
obtenemos el derivado del producto,
y está bien, vamos a escribirlo.
Es aburrido. Así que
no van a perder ningún tiempo precioso aquí.
Vale, ¿cuál fue el proceso de calcular
todas las posibles rutas derivadas parciales
para nuestra función dada,
eso fue bastante exigente.
Bien, podemos ver el siguiente video.