Quindi dal momento che abbiamo effettivamente escogitato il
modo derivato per il caso multivariato,
dovremmo pensare ai
secondi derivati parziali come abbiamo fatto
nel singolo caso variato quando abbiamo pensato
alla derivata e poi
pensato alla velocità o alla velocità del cambiamento, giusto?
Quindi, cerchiamo di disegnare un altro schema divertente qui.
Quindi prima di tutto abbiamo la nostra funzione qui, giusto.
Questo è il nostro livello di funzione.
Quindi lo differenziamo rispettivamente per X e Y.
Quindi otteniamo derivati parziali
del gradiente proprio qui, giusto?
Quindi è bello e prevedibile e lo sappiamo,
e poi arriva il turno
delle seconde derivate parziali.
Come sempre pensiamo alla
seconda derivata parziale come
derivata di una derivata.
Ma ora possiamo differenziare sia per X o Y.
Così invece di un secondo derivato,
otteniamo bene uno,
due, tre, quattro derivati parziali qui.
Bene verso X due volte verso X e Y,
Y e X e Y due volte.
Beh, la notazione che vediamo qui
perché bene cerca solo di
sottolineare l'ordine e
l'insieme di differenziazione che
abbiamo effettivamente inventato qui.
In altre parole, quello che facciamo,
abbiamo solo differenziare la funzione una
volta e poi fare un'altra differenziazione.
Quindi calcoliamo la derivata parziale verso X e
poi calcoliamo la derivata della sua
derivata verso Y, giusto?
Quindi e per finirlo,
stiamo andando a parlare può essere su notazione,
ed è solo una notazione operatore,
e questo è prevedibile perché
quando abbiamo
parlato della derivata per funzioni a variabile singola,
abbiamo parlato dell'operatore di
prendere la prima derivata d verso dx , giusto?
Quindi qui è ancora lo stesso,
presuppone che abbiamo la nostra prima
derivata parziale verso X per esempio,
è una procedura quando
otteniamo effettivamente come funzione di input F,
e di conseguenza restituiamo i nostri derivati parziali.
Quindi, solo mettendo F dietro
o solo i simboli in questa notazione,
otteniamo F che è un argomento per questa procedura
e quindi fondamentalmente il simbolo per
questa procedura è solo un'istruzione cosa fare.
Quindi, al fine di calcolare la seconda derivata parziale,
abbiamo bisogno di applicare
questo operatore diversi tentativi, due volte in realtà.
In primo luogo applicheremo il tasso di differenziazione per
X per esempio e poi la differenziazione per Y.
Ok? Come puoi vedere
l'ordine di differenziazione qui è complicato perché,
se moltiplichi questa frazione e frazione di
differenziazione per Y e derivata parziale per X, giusto?
Si ottiene nell'ordine del denominatore
parziale Y X parziale, giusto?
Ma per quanto riguarda la notazione
che abbiamo discusso in precedenza utilizzerà semplicemente gli indici,
abbiamo scritto l'ultima differenziazione giusta?
Quindi è difficile in
questo momento stiamo andando a discutere il problema dell'ordine
di differenziazione in sé e
non sarà una tale massa in seguito.
Ma ora consideriamo alcuni esempi.
Per prima cosa diamo un'occhiata
alla funzione X potenza a Y-quadrato.
Ancora una volta vi ricorderò che se
abbiamo un tale potere multistadio,
allora ci sposteremo dall'alto verso il basso, giusto?
Quindi qualcosa del genere.
Quindi dobbiamo prima calcolare XY al quadrato e
poi mettere X nella potenza di Y-quadrato.
Ok? Quindi iniziamo con base,
iniziamo con gradiente.
Ok?
Derivata
parziale verso X derivati parziali verso Y.
Quindi verso X, è semplicemente una funzione polinomiale.
Quindi otteniamo poteri AX di Y al quadrato meno uno,
moltiplicati per Y al quadrato, giusto?
Dobbiamo scriverlo,
e ancora cos'è X.
Cos'è Y è solo una funzione esponenziale che con
una bella forma esponenziale qui.
Quindi scriveremo il nostro logaritmo X moltiplicato per
X su Y al quadrato e poi
dovremmo ricordare che è
una composizione di due funzioni che
è A in potenza di X e X al quadrato, giusto?
Quindi abbiamo bisogno di moltiplicare tutto per 2Y.
Nizza, quindi possiamo procedere ad esempio con la
seconda derivata verso X due volte,
e per fare questo abbiamo bisogno di
differenziare il risultato della
nostra prima derivata parziale per X,
Y al quadrato è una costante verso X quindi rimane,
e poi otteniamo in altri casi di polinomio funzione.
Quindi abbiamo bisogno solo di spostare la potenza come
un moltiplicatore dietro e diminuire la potenza di uno.
Quindi otteniamo come risultato XY al
quadrato e moltiplichiamo per Y al quadrato meno uno,
moltiplicato per X potenza Y al quadrato meno due.
Quindi, supponiamo
un altro che è derivato verso X e
Y. Ho intenzione di
scrivere solo che abbiamo bisogno di differenziare lo stesso verso Y,
e quindi otteniamo la derivata della moltiplicazione,
che è due Y moltiplicato per
X alimentato Y-al quadrato meno uno,
più Y al quadrato moltiplicato per logaritmo di X per
lo stesso X alimentato Y al quadrato meno uno,
moltiplicato per due Y.
Fantastico, beh e forse per l'ultimo,
ora calcolerò la derivata
verso Y e poi verso X,
solo perché come vedremo più avanti c'è
una distanza da coincidere qui.
Quindi, che cosa è per il caso
della derivata verso Y due volte,
avremo bisogno di differenziare il
logaritmo X moltiplicato per X alimentato Y al
quadrato moltiplicato per due Ys verso Y,
che è ancora una volta il logaritmo X è una costante,
quindi otteniamo due come costante e poi
otteniamo il derivato del prodotto,
e va bene, scriviamolo.
E' noioso. Quindi e
non perderanno tempo prezioso qui.
Ok, qual era il processo di calcolo di
tutti i possibili percorsi derivati parziali
per la nostra funzione data,
che era piuttosto impegnativo.
Ok, possiamo vedere il prossimo video.