Так как мы на самом деле придумали
способ производной для многомерного случая,
мы должны думать о
вторых частичных производных, как мы это делали в
случае с одним вариатом, когда мы думали о
производной, а затем думали
о скорости или скорости изменения, верно?
Итак, давайте нарисуем еще одну смешную схему здесь.
Так что, прежде всего, у нас есть наша функция здесь, верно.
Это наш уровень функций.
Затем мы различаем его по X и Y соответственно.
Таким образом, мы получаем частичные производные
градиента вообще здесь, верно?
Так что это хорошо и ожидаемо, и мы это знаем,
а затем наступает очередь
второй частичной производной.
Как всегда мы думаем о
второй
частичной производной как о производной.
Но теперь мы можем различать по X или Y.
Таким образом, вместо одной второй производной
мы получим
здесь одну, две, три, четыре частичные производные.
Хорошо к X два раза в сторону X и Y,
Y и X и Y два раза.
Ну, нотация, которую мы видим здесь,
потому что она просто
пытается подчеркнуть порядок и
набор дифференциации, которые
мы на самом деле придумали здесь.
Другими словами, то, что мы делаем,
мы просто дифференцируем функцию один
раз, а затем делаем это еще одну дифференциацию.
Итак, мы вычисляем частичную производную к X, а
затем вычисляем производную от его
производной к Y, верно?
Итак, и чтобы закончить это,
мы будем говорить может быть на нотации,
и это просто нотация оператора,
и это ожидаемо, потому что
когда мы
говорим о производной для однопеременных функций,
мы говорили о операторе
принятия первой производной d к dx , верно?
Итак, здесь все то же самое,
предполагает, что у нас есть наша первая
частичная производная к X например,
это процедура, когда мы
на самом деле получаем в качестве входной функции F,
и в результате мы возвращаем наши частичные производные.
Таким образом, просто положив F позади
или просто символы в этой нотации,
мы получаем F, который является аргументом для этой процедуры,
а затем в основном символ для
этой процедуры, это просто инструкция, что делать.
Поэтому для того, чтобы вычислить вторую частичную производную,
нам нужно применить
этот оператор несколько попыток, фактически два раза.
Во-первых, мы будем применять коэффициент дифференциации по
X, например, а затем дифференциацию по Y.
Хорошо? Как вы можете видеть,
порядок дифференциации здесь сложен, потому что,
если вы просто умножаете эту дробь и дробь
дифференциации на Y и частичную производную для X, верно?
Вы получаете в порядке знаменателя
частичный Y частичный X, верно?
Но что касается нотации,
которую мы обсуждали ранее, просто будет использовать индексы,
мы написали последнюю дифференциацию?
Так что сложно
прямо сейчас мы будем обсуждать проблему порядка
дифференциации, и это
не будет такой массой позже.
Но теперь давайте рассмотрим некоторые примеры.
Сначала давайте взглянем
на функцию X мощность Y-квадрат.
Еще раз напомню, что если
у нас такая многоступенчатая сила,
то мы будем двигаться сверху вниз, верно?
Так что-то вроде этого.
Поэтому нам нужно сначала вычислить XY в квадрате, а
затем поставить X в силу Y-квадрата.
Хорошо? Итак, давайте начнем с базового,
давайте начнем с градиента.
Хорошо?
Частичная производная к Х
частичных производных по
отношению к Y. Таким образом, к X, это просто полиномиальная функция.
Таким образом, мы получаем степень AX Y в квадрате минус один,
умноженный на Y в квадрате, верно?
Нам нужно записать его,
и все же, что X.
Что такое Y, это просто экспоненциальная функция, которая с
хорошей экспоненциальной формой здесь.
Итак, мы собираемся написать наш логарифм X умноженный на
X о Y квадрате, а затем мы
должны помнить, что это
композиция из двух функций, которая
является A в силе X и X в квадрате, верно?
Поэтому нам нужно умножить все на 2Y.
Ницца, так что мы можем продолжить, например,
второй производной к X два раза,
и для этого нам нужно
дифференцировать результат
нашей первой частичной производной по X,
Y квадрат является константой к X, поэтому он остается,
а затем мы получаем в другом случае полинома функции.
Поэтому нам нужно просто переместить силу как
множитель позади и уменьшить мощность на единицу.
Таким образом, мы получаем в результате XY
квадрат и умножаем на Y-квадрат минус один,
умноженный на X мощность Y в квадрате минус два.
Итак, давайте предположим
еще один, который является производной к X и
Y. Я собираюсь просто
написать, что нам нужно дифференцировать то же самое к Y,
и, таким образом, мы получаем производную умножения,
которая является двумя Y умножается на
X Powered Y-квадрат минус один,
плюс Y квадрат умноженное на логарифм X на
ту же Х, в квадрате Y минус один,
умноженный на два Y.
Удивительно, ну и, возможно, для последнего,
я теперь собираюсь вычислить производную в
направлении Y, а затем в направлении X,
только потому, что, как мы увидим позже,
здесь есть расстояние, чтобы совпадать.
Итак, что для случая
производной к Y два раза,
нам нужно будет дифференцировать
логарифм X умноженный на X Powered Y
квадрат умноженный на два Ys к Y,
который снова логарифм X является константой,
затем мы получаем два в качестве константы, а затем мы
получаем производной продукта,
и хорошо, давайте просто записать его.
Это скучно. И
они не собираются тратить драгоценное время здесь.
Хорошо, каков был процесс вычисления
всех возможных путей частичных производных
для нашей данной функции,
что было довольно требовательным.
Итак, мы можем посмотреть следующее видео.