وبالتالي فإن الشيء الذي من المتوقع أن نجده عن
التحدب هو
الرابط بين التحدب والمشتقات الثانية.
لذلك دعونا نفترض أننا سنجد مصطلحات
مشتركة بين حالة متغيرة واحدة
وارتباطها بين G الثاني مع
التحدب المختلفة والحالة متعددة المتغيرات.
حسنا، الاتصال المباشر إلى الأمام هنا
يختلف لأنه حسنا،
ما يتوقع أن تراه هنا هو فكرة أن
المشتق الثاني من وظائف متغيرة واحدة
يجب أن يكون إيجابيا لوظيفة أن تكون محدبة.
بالطبع، هناك حالة مقعرة
كما تتذكرون جميعا
ولكنها نفس [غير مسموع] لذلك نحن لا نناقشها.
حسناً، هذا واضح لذلك بالطبع،
ليس لدينا فكرة
المشتق الجزئي الثاني هنا.
نحن لا نفهم ما هو عليه.
ما هو المفهوم، وكذلك نحن لا نعرف
ما هو المشتق الأول
من وظيفة متعددة المتغيرات كلها هو.
ولكن ما يمكننا القيام به هنا،
نفترض أن مشتقنا الثاني
إيجابي لجميع x على سبيل المثال، بعض الشرائح.
ثم إذا قمنا بضربها بواسطة dx
تربيع غير سلبي عندما يحمل عدم المساواة.
لكن الأشياء التي قمنا بالفعل بإدخالها،
في الجزء الأيسر من المعادلة هي
التفاضلية الثانية للدالة
و والتي هي إيجابية
لجميع التغييرات المحتملة للحجة.
لذلك هذا هو المفهوم
الذي أو ما هو موجود في حالة
وظائف متعددة المتغيرات ونحن في
طريقنا إلى تعميم التحدب لدينا للخروج منه.
لذا افترض أننا
سنقول نفس الشيء إلى حد كبير.
الدالة محدبة إذا كان التفاضل الثاني
موجبة لجميع التغييرات المحتملة
للمتغيرات. هذا جيد
هذا لطيف ولكن لدينا
مشكلة هنا لأن التغييرات في
المتغيرات هي متجه هنا.
التغييرات نحو x، التغييرات
نحو y تستمد المتجه الصحيح.
لذلك نحن بحاجة إلى فهم كيفية تحديد الحالة بشكل صحيح
سواء كان
هذا الفرق الثاني إيجابيا أم لا.
أولا، دعونا ننظر
إلى الفرق الثاني في شكله الكامل.
دعونا ننظر إليها كما كنا ننظر إلى المدرسة
لأن ما نراه هنا هو
وظيفة تربيعية نحو على سبيل المثال، دي
إكس أو دي أو ربما انها العلاقة على الإطلاق.
نحن ننظر إلى شيء
يشبه الفأس مربع زائد ب س
زائد ج ماذا نتوقع أن تجد هنا؟ من
المتوقع أن نجد أن هذه الوظيفة إيجابية دائمًا.
كيف يمكن أن يحدث ذلك؟
كما تتذكر أيضا،
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو مكافئ
ويبدو مثل هذا أو مثل هذا أو ربما مثل هذا واحد.
وبطبيعة الحال، ما ينبغي أن
نطالب به من التفاضلية الثانية،
من وظيفتنا التربيعية
من أجل أن تكون جميع الردود، حسنا،
أولا وقبل كل شيء ينبغي أن
يكون مع التمييز السلبي هنا.
لأنه إذا كان لها أي جذور،
وبالتالي لديها قيم إيجابية وسلبية،
وبالتالي فإننا لن
يكون لدينا علامة زائد صارمة كما هو الحال في القاعدة المقترحة لدينا.
لذلك نحن بحاجة إلى النظر إلى التمييز في وظيفتنا.
تذكر B تربيع ناقص 4ac،
ثم اطلب منها أن تكون سلبية، لا جذور.
بالنسبة للجزء الآخر، فإنه يعتمد
إذا وظيفة مكافئ
ليس لها جذور إما أنها مصنفة صعودا أو هبوطا.
لذلك الذي يتم تعريفه بشكل أساسي من خلال
المعامل
الأول وهو المشتق الثاني نحو x مرتين.
إذا ما وصلنا إلى هنا،
نصل إلى هنا أول واحد.
نحن بحاجة إلى
الانتقال إلى التمييز من وظيفة مكافئ.
في حالتنا هو لدينا متغير D رأس المال هنا،
مما يعني إما أن هذه الوظيفة مكافئ لها جذور.
حتى إذا كان هذا D الذي هو التمييز السلبي في
حالتنا هو إيجابي ثم ليس له جذور.
وبالتالي يمكن أن تكون إما محدبة أو مقعرة.
إذا كان جيدا، والباقي من السهل جدا.
إذا كان المعامل الأول إيجابيًا،
فهو محدب، ثم إذا كان
سالبًا فهو مقعر، وهذا كل شيء.
باستخدام مدرستنا فقط،
والجبر مجرد الخروج مع فكرة
كيفية تعريف التحدب متعدد المتغيرات.
الشيء هو أن التحدب لدينا
وقاعدة لدينا هو الريبو من الجبر الخطي لأنه
هو مفهوم الدقة شبه الإيجابية
لشكل التفاضلية الثانية ولكن أنت
ذاهب لمعرفة المزيد عن ذلك في سياق
الجبر الخطي أو في المواد الإضافية لدينا كما هو الحال دائما.
حتى الآن
للتأكد من أننا نفهم ما يجري،
دعونا ننظر في المثال التالي.
دعونا ننظر إلى وظيفة مربع
زائد من قبل مربع زائد ج، س.
أولا، حساب التفاضل الثاني
وتحديد تحت أي ظروف على أ،
ب، ج أنا فقط ذاهب إلى القول أن أ، ب،
ج حقيقية وليست أصفار،
فقط لتبسيط القضية.
إذن ما الذي سنفعله أولاً؟
سنبدأ بالمشتقات الجزئية التي
هي أسهل حالة لأن نحو x
هو 2ax plus cy
ونحو y هو 2by plus cx.
ثم سنقوم فقط بكتابة
المشتقات الجزئية الثانية.
أعتقد أننا سنتجنب حتى كتابة
تفاضلنا الثاني
ونستخدم فقط
جذور التحدب أو التقعر مباشرة.
وبالتالي فإن المشتق الثاني نحو x هو مشتق
المشتق الجزئي الأول نحو x،
لذلك هو 2a،
وينطبق الشيء نفسه على
المشتقات الجزئية الثانية نحو y،
مرتين وهو 2b.
ونتيجة لذلك، وبالنسبة للمشتق نحو xy،
سنقوم بالكتابة كما
AC لأننا بحاجة إلى على سبيل المثال،
التفريق بين المشتق نحو x
بواسطة y وهو c، فما هو التمييز السلبي لدينا؟
هل هو (د) بينما هنا؟
نحن بحاجة إلى مضاعفة مشتقنا الجزئي
نحو x ونحو ys
وطرح المشتق الجزئي نحو x و y التربيع.
لذلك نحن ذاهبون لكتابة 4AB ناقص ج مربع.
حسنا، كما تعلمون جميعا،
انها مرتبطة نحو التمييز نفسه.
لذلك هذا هو إلى حد كبير السبب في أننا نستخدمها.
لذلك دعونا نفترض على سبيل المثال بعض الحالات.
على سبيل المثال، ما نحتاج
إلى طلبه للحصول على بعض التحدب أو التقعر هنا،
نحتاج إلى أن نسأل من d هو قيمة إيجابية لذلك
يجب أن يكون 4ab أكبر من c مربع.
فما الذي يمكن أن نتوقعه من هنا؟
إذا كان إيجابيًا، فيجب أن نتوقع أنه محدب.
إذا كان
سلبيًا، فيجب أن نتوقع أنه
مقعر، وهذه هي النتائج.
ولكن الأسئلة التي يجب أن
ننتهي بها
هي مسألة ما إذا كنا نفهم بالفعل لماذا نتحدث عن على سبيل المثال
المعامل الأول نحو
x وليس المعامل الأول
نحو y. هنا.
حتى تتمكن من النظر فقط ليس على
المشتق الأول أو الثاني نحو x مرتين ولكن
على المشتق الثاني نحو y مرتين.
هذا هو المكان الذي يأتي لدينا قاعدة د في ضوء
لنفترض أن لدينا إيجابية
وبالتالي يجب أن نفهم أن وظيفتنا هي محدبة.
لذلك من خلال قاعدتنا
، إذا كانت إيجابية ج مربعة إيجابية
وبالتالي ب أيضا يجب أن تكون إيجابية.
وينطبق الشيء نفسه على السلبية a،
يجب أن يكون هناك b سلبيًا دائمًا
، وبالتالي لا يهم في الواقع ما ننظر إليه.
المشتق الثاني نحو x مرتين أو نحو
y مرتين يجب أن يكون دائمًا
نفس العلامة ويجب أن تكون
استنتاجاتنا هي نفسها دائمًا.
آخر شيء سنراه هنا هو
أن الحالات التي يكون فيها لدينا بعض الأصفار التي
تقوم بحساباتنا صعبة وتحتاج إلى
مزيد من الاهتمام كما هو منصوص عليه في
هذه القاعدة البسيطة التي أثبناها للتو
، وبنينا، وفعلا.
لذلك نحن ذاهبون إلى
مزيد من التفاصيل حول هذا في حين أننا نتحدث عن
روتين التحسين لدينا في الأسبوع الماضي على ما أعتقد.
الآن، لقد توصلنا للتو إلى
فكرة تحديد التحدب على [غير مسموع]