Die Sache, die wir über
die Konvexität finden, ist also die Verbindung zwischen
der Konvexität und den zweiten Derivaten.
Nehmen wir also an, dass wir Begriffe
gemeinsam zwischen einzelnen Variaten Fall und
seiner Verbindung zwischen dem zweiten G mit
unterschiedlicher Konvexität und multivariaten Fall finden werden.
Nun, eine geradlinige Verbindung hier
unterscheidet sich, denn nun,
was Sie hier sehen werden, ist die Idee, dass die zweite
Ableitung einzelner Variatfunktionen
positiv sein sollte, damit eine Funktion konvex ist.
Natürlich gibt es einen konkaven Fall,
wie Sie sich alle erinnern, aber
es ist derselbe [unhörbar] Also diskutieren wir nicht darüber.
Nun, es ist offensichtlich. So
haben wir natürlich nicht die Idee
der zweiten partiellen Ableitung hier.
Wir verstehen nicht, was es ist.
Was ist das Konzept, sowie wir wissen nicht,
was die erste Ableitung
der gesamten multivariaten Funktion ist.
Aber was wir hier tun können,
davon ausgehen, dass unsere zweite Ableitung
positiv für alle x ist auf zum Beispiel einige Segmente.
Dann, wenn wir es multiplizieren mit dx
quadriert nicht-negativ, wenn die Ungleichheit hält.
Aber die Dinge, in die wir uns selbst gebracht haben,
im linken Teil der Gleichung ist
das zweite Differenzial der Funktion
f, das für
alle möglichen Änderungen des Arguments positiv ist.
Das ist also das Konzept
, das oder was im Fall von
multivariaten Funktionen existiert und wir werden
unsere Konvexitätsregel daraus verallgemeinern.
Also nehmen wir an, dass wir
so ziemlich dasselbe sagen werden. Die
Funktion ist konvex, wenn das zweite Differential
für alle möglichen Änderungen
von Variablen positiv ist. Das ist in Ordnung.
Das ist schön. Aber wir haben
hier ein Problem, weil Änderungen von
Variablen hier ein Vektor sind.
Änderungen in Richtung x, Änderungen
in Richtung y leitet den richtigen Vektor ab.
Wir müssen also verstehen, wie man den Fall richtig definiert
, ob
dieses zweite Differential immer positiv ist oder nicht.
Lassen Sie uns zunächst
das zweite Differential in seiner vollen Form betrachten.
Schauen wir uns das an, wie wir in der Schule geschaut haben,
denn was wir hier sehen
, ist eine quadratische Funktion gegenüber zum Beispiel
dx oder dy oder vielleicht ist es eine Beziehung überhaupt.
Wir schauen uns etwas an, das
ax squared plus bx
plus c ähnelt. Was werden wir hier erwartet?
Wir werden erwartet, dass diese Funktion immer positiv ist.
Wie kann es passieren?
Wie Sie sich auch erinnern,
ist der Graph dieser Funktion Parabel und
es sieht so aus oder so oder vielleicht wie diese.
Natürlich, was wir
von unserem zweiten Differential fordern sollten,
von unserer quadratischen Funktion,
damit sie alle Antworten sein kann, nun, vor
allem sollte es
hier mit einer negativen Diskriminanz sein.
Denn wenn es irgendwelche Wurzeln hat,
so hat es eine positive und negative Werte
und somit werden wir nicht
unser striktes Pluszeichen haben, wie in unserer vorgeschlagenen Regel.
Also müssen wir uns die Diskriminanz unserer Funktion ansehen.
Denken Sie daran, B quadriert minus 4ac,
und dann fragen Sie es einfach, negativ zu sein, keine Wurzeln.
Für den anderen Teil kommt es darauf an,
ob eine Parabolfunktion
keine Wurzeln hat, sie wird entweder nach oben oder nach unten bewertet.
Also, was im Grunde durch
den ersten Koeffizienten definiert
ist, der die zweite Ableitung in Richtung x zweimal ist.
Also, was wir hier bekommen,
bekommen wir den ersten hier.
Wir müssen uns
auf die Diskriminanz der parabolischen Funktion konzentrieren.
In unserem Fall ist es hier unser variables D-Kapital,
was bedeutet, dass entweder nicht diese parabolische Funktion Wurzeln hat.
Wenn also dieses D, das in
unserem Fall ein negativer Diskriminant ist, positiv ist, dann hat es keine Wurzeln.
So kann es entweder konvex oder konkav sein.
Wenn gut, der Rest ganz einfach.
Wenn der erste Koeffizient positiv ist,
dann ist er konvex, wenn er
negativ ist, ist er konkav, und das ist alles.
Durch die Verwendung nur unserer Schule,
Algebra kommt nur auf die Idee, wie
multivariate Konvexität zu definieren.
Die Sache ist, dass unsere Konvexität und
unsere Regel Repo von der linearen Algebra
ist, weil es das Konzept der halbpositiven Definition
der Form des zweiten Differentials ist, aber Sie
werden mehr darüber im Laufe der
linearen Algebra oder in unseren zusätzlichen Materialien wie immer lernen.
Bis jetzt, um
sicherzustellen, dass wir verstehen, was los ist,
lassen Sie uns das folgende Beispiel betrachten.
Lassen Sie uns die Funktion ein quadriertes
Plus von quadrierten plus c, xy betrachten.
Erstens, berechnen Sie das zweite Differential und
definieren, unter welchen Bedingungen auf a,
b, c Ich werde nur sagen, dass a, b,
c real sind und keine Nullen sind,
nur um den Fall zu vereinfachen.
Also, was werden wir zuerst tun?
Wir werden mit partiellen Derivaten beginnen, was
der einfachste Fall ist, weil zu x
2ax plus cy ist
und in Richtung y 2by plus cx ist.
Dann werden wir einfach
die zweiten Teilderivate aufschreiben.
Ich denke, wir werden sogar vermeiden,
unser zweites Differential aufzuschreiben und
einfach unsere
Konvexitäts- oder Konkavitätswurzeln zu verwenden.
So ist die zweite Ableitung gegenüber x die Ableitung
der ersten partiellen Ableitung in Richtung x.
So ist es 2a,
das gleiche gilt für
die zweiten partiellen Derivate in Richtung y,
zwei Male, die 2b ist.
Infolgedessen und was die Ableitung
zu xy betrifft, werden wir als
ac schreiben, weil wir zum Beispiel
die Ableitung in Richtung x um
y differenzieren müssen, was c ist. Was ist also unser negativer Diskriminant?
Ist es D, solange hier drin ist.
Wir müssen unsere partielle Ableitung
in Richtung x und in Richtung ys multiplizieren und
partielle Ableitung in Richtung x und y quadriert subtrahieren.
Also werden wir 4ab minus c quadriert schreiben.
Nun, wie Sie alle verstehen können,
ist es mit dem Diskriminanten selbst verbunden.
Das ist also so ziemlich der Grund, warum wir es benutzen.
Also lassen Sie uns zum Beispiel einige Fälle annehmen.
Zum Beispiel, was wir
bitten müssen, um etwas Konvexität oder Konkavität hier
zu bekommen, wir müssen von d fragen, ist ein positiver Wert, so
4ab sollte größer als c quadriert sein.
Was können wir also von hier erwarten?
Wenn a positiv ist, dann sollten wir erwarten, dass es konvex ist.
Wenn a negativ ist,
dann sollten wir erwarten, dass es
konkav ist, und das ist die Ergebnisse.
Aber die Fragen,
mit denen wir fertig
werden sollten, ist die Frage, ob wir tatsächlich verstehen, warum wir zum Beispiel über
den ersten Koeffizienten in Richtung x und nicht den
ersten Koeffizienten in Richtung y sprechen.
Denn gut, man kann leicht sehen, dass x und
y abfangbar sind hier.
So können Sie einfach nicht auf die erste oder die
zweite Ableitung in Richtung x zweimal schauen, sondern
auf die zweite Ableitung in Richtung y zweimal.
Dies ist, wo unsere d Regel ins Licht kommt, weil
davon ausgehen, dass wir positive
a haben also sollten wir verstehen, dass unsere Funktion konvex ist.
Also nach unserer Regel,
wenn a positiv c quadriert ist positiv
so b sollte auch positiv sein.
Dasselbe gilt für das Negative a,
es sollte b immer negativ sein,
also spielt es keine Rolle, was wir betrachten.
Die zweite Ableitung gegenüber x zweimal oder zu
y zweimal sollte immer
das gleiche Zeichen sein und
unsere Schlussfolgerungen sollten immer die gleichen sein.
Das letzte, was wir hier sehen werden
, ist, dass die Fälle, in denen wir einige Nullen haben, die
unsere Berechnungen durchführen, knifflig sind und
mehr Aufmerksamkeit benötigen, wie
diese einfache Regel, die wir gerade bewiesen
, gebaut und tatsächlich vorgezogen haben.
Wir werden also
mehr darüber erläutern, während wir über
unsere Optimierungsroutine in der letzten Woche sprechen, glaube ich. Im
Moment haben wir gerade
die Idee zur Konvexitätsbestimmung auf der [unhörbaren]