Así que lo que se espera que encontremos sobre
la convexidad es el vínculo entre
la convexidad y los segundos derivados.
Así que supongamos que vamos a encontrar términos en
común entre un solo caso variado y
su vínculo entre la segunda G con
diferente convexidad y caso multivariado.
Bueno, la conexión directa aquí
es diferente porque bueno,
lo que se espera que vea aquí es la idea de que la segunda
derivada de funciones variadas individuales
debe ser positiva para que una función sea convexa.
Por supuesto, hay un caso cóncavo
como todos recordáis, pero
es el mismo [inaudible] Así que no lo estamos discutiendo.
Bueno, es obvio. Así que, por supuesto,
no tenemos la idea de
la segunda derivada parcial aquí.
No entendemos lo que es.
¿ Cuál es el concepto, así como no sabemos
cuál es el primer derivado
de toda la función multivariante es.
Pero lo que podemos hacer aquí,
supongamos que nuestra segunda derivada
es positiva para todas las x en, por ejemplo, algunos segmentos.
Entonces, si lo multiplicamos por dx
cuadrado no negativo cuando se mantiene la desigualdad.
Pero las cosas en las que realmente nos hemos metido,
en la parte izquierda de la ecuación es
el segundo diferencial de la función
f que es positivo para
todos los cambios posibles del argumento.
Así que ese es el concepto
que o lo que existe en el caso de
las funciones multivariantes y vamos a
generalizar nuestra regla convexidad fuera de él.
Así que supongamos que
vamos a decir más o menos lo mismo.
La función es convexa si el segundo diferencial es
positivo para todos los cambios posibles
de variables. Eso está bien.
Eso es bonito. Pero tenemos
un problema aquí porque los cambios de
variables son un vector aquí.
Los cambios hacia x, los cambios
hacia y derivan el vector correcto.
Así que tenemos que entender cómo definir correctamente el caso
si
este segundo diferencial es siempre positivo o no.
En primer lugar, veamos
el segundo diferencial en su forma completa.
Veámoslo como hemos estado mirando en la escuela
porque lo que estamos viendo aquí es
una función cuadrática hacia, por ejemplo,
dx o dy o tal vez es relación alguna.
Estamos viendo algo que se
asemeja a hacha cuadrado más bx
más c. ¿Qué se espera encontrar aquí?
Se espera que descubramos que esta función siempre es positiva.
¿ Cómo puede suceder?
Como usted también recuerda,
el gráfico de esta función es parábola y
se ve así o como esto o tal vez como este.
Por supuesto, lo que debemos
exigir de nuestro segundo diferencial,
de nuestra función cuadrática
para que sea todas las respuestas, bueno, en
primer lugar debe
ser con un discriminante negativo aquí.
Porque si tiene alguna raíz,
por lo tanto tiene un valor positivo y negativo
y por lo tanto no vamos
a tener nuestro signo más estricto como en nuestra regla propuesta.
Así que tenemos que mirar el discriminante de nuestra función.
Recuerde B cuadrado menos 4ac,
y luego simplemente pídele que sea negativo, sin raíces.
Por otra parte, depende
si una función parabólica
no tiene raíces, está clasificada hacia arriba o hacia abajo.
Así que básicamente se define por
el primer coeficiente que
es la segunda derivada hacia x dos veces.
Así que lo que
conseguimos aquí, llegamos aquí el primero.
Tenemos que transmitir
sobre el discriminante de la función parabólica.
En nuestro caso, es nuestra variable de capital D aquí,
lo que significa que o bien no esta función parabólica tiene raíces.
Así que si este D que es un discriminante negativo en
nuestro caso es positivo entonces no tiene raíces.
Por lo tanto, puede ser convexa o cóncava.
Si bien, el resto de bastante fácil.
Si el primer coeficiente es positivo,
entonces es convexo, entonces si es
negativo es cóncavo, y eso es todo.
Usando sólo nuestra escuela,
álgebra acaba de llegar a la idea de cómo
definir la convexidad multivariada.
La cosa es que nuestra convexidad y
nuestra regla es repositorio de álgebra lineal porque
es el concepto de definición semi positiva
de la forma del segundo diferencial pero usted
va a aprender más sobre él en el curso del
álgebra lineal o en nuestros materiales adicionales como siempre.
Por ahora, para
asegurarnos de que entendemos lo que está pasando,
consideremos el siguiente ejemplo.
Veamos la función de un cuadrado
más por cuadrado más c, xy.
En primer lugar, calcular el segundo diferencial y
definir bajo qué condiciones en a
, b, c Solo voy a decir que a, b,
c son reales y no son ceros,
solo para simplificar el caso.
Entonces, ¿qué vamos a hacer primero?
Vamos a empezar con derivados parciales que
es el caso más fácil porque hacia x
es 2ax más cy
y hacia y es 2by más cx.
Entonces vamos a anotar
los segundos derivados parciales.
Creo que incluso vamos a evitar anotar
nuestro segundo diferencial y
simplemente usar nuestras
raíces de convexidad o concavidad directamente.
Así que la segunda derivada hacia x es la derivada
de la primera derivada parcial hacia x.
Así que es 2a, lo
mismo se aplica para
las segundas derivadas parciales hacia y,
dos veces que es 2b.
Como resultado y en cuanto a la derivada hacia xy,
vamos a escribir como
ac porque necesitamos, por ejemplo,
diferenciar la derivada hacia x
por y que es c. Entonces, ¿cuál es nuestro discriminante negativo?
¿ Es D mientras está aquí?
Necesitamos multiplicar nuestra derivada parcial
hacia x y hacia ys y
restar derivada parcial hacia x e y cuadrado.
Así que vamos a escribir 4ab menos c cuadrado.
Bueno, como todos pueden entender,
está relacionado con el discriminante en sí.
Así que esa es más o menos la razón por la que lo estamos usando.
Así pues, supongamos, por ejemplo, algunos casos.
Por ejemplo, lo que necesitamos
pedir para obtener algo de convexidad o concavidad aquí,
necesitamos preguntar de d es un valor positivo por lo que
4ab debe ser más grande que c cuadrado.
Entonces, ¿qué podemos esperar de aquí?
Si a es positivo, entonces deberíamos esperar que sea convexa.
Si a es negativo,
entonces deberíamos esperar que
sea cóncava, y esos son los resultados.
Pero las preguntas
con las que deberíamos terminar es la cuestión de si
realmente entendemos por qué
estamos hablando, por ejemplo,
del primer coeficiente hacia x y no
primero hacia y.
Porque bien, se puede ver fácilmente que x e
y son interceptables aquí.
Así que usted puede simplemente mirar no en la primera o la
segunda derivada hacia x dos veces, sino
en la segunda derivada hacia y dos veces.
Aquí es donde nuestra regla d entra en la luz porque
suponemos que tenemos
un positivo por lo tanto debemos entender que nuestra función es convexa.
Así que por nuestra regla,
si a es positivo c cuadrado es positivo,
por lo tanto, b también debe ser positivo.
Lo mismo se aplica para el negativo a,
hay b siempre debe ser negativo, por
lo que realmente no importa lo que estamos viendo.
La segunda derivada hacia x dos veces o hacia
y dos veces su siempre debe ser
el mismo signo y
nuestras conclusiones deben ser siempre las mismas.
Lo último que vamos a ver aquí es
que los casos en los que tenemos algunos ceros
haciendo nuestros cálculos son difíciles y necesita
más atención como lo proporciona
esta simple regla que acabamos de probar
, construir y realmente imaginado.
Así que vamos a
profundizar más sobre esto mientras estamos hablando de
nuestra rutina de optimización en la última semana creo.
Por ahora, acabamos de llegar a
la idea de determinación de la convexidad en el [inaudible]