Donc, la chose que nous devons trouver sur
la convexité est le lien entre
la convexité et les deuxièmes dérivés.
Supposons donc que nous allons trouver des termes en
commun entre le cas unique varié et
son lien entre le second G avec une
convexité différente et un cas multivarié.
Eh bien, la connexion directe ici
diffère parce que bien,
ce que vous êtes attendu à voir ici est l'idée que la deuxième
dérivée de fonctions variables uniques
devrait être positive pour qu'une fonction soit convexe.
Bien sûr, il y a un cas concave
comme vous vous en souvenez tous, mais
c'est le même [inaudible] Donc nous n'en discutons pas.
Eh bien, c'est évident. Donc, bien sûr,
nous n'avons pas l'idée de
la deuxième dérivée partielle ici.
Nous ne comprenons pas ce que c'est.
Quel est le concept, ainsi que nous ne savons pas
ce qui est le premier dérivé
de l'ensemble de la fonction multivariée est.
Mais ce que nous pouvons faire ici,
supposons que notre deuxième dérivé
est positif pour tous les x sur par exemple, certains segments.
Ensuite, si nous le multiplions par dx
carré non négatif lorsque l'inégalité tient.
Mais les choses que nous nous sommes réellement entrés dans,
dans la partie gauche de l'équation est
le deuxième différentiel de la fonction
f qui est positif pour
tous les changements possibles de l'argument.
C' est donc le concept
qui ou ce qui existe dans le cas des
fonctions multivariées et nous allons
généraliser notre règle de convexité hors de celui-ci.
Supposons que nous
allons dire à peu près la même chose.
La fonction est convexe si le deuxième différentiel est
positif pour tous les changements possibles
de variables. C'est très bien.
C' est sympa. Mais nous avons
un problème ici parce que les changements de
variables sont un vecteur ici.
Changements vers x, changements
vers y dérive le vecteur droit.
Nous devons donc comprendre comment définir correctement le cas
si
ce deuxième différentiel est toujours positif ou non.
Tout d'abord, examinons
le deuxième différentiel dans sa forme complète.
Regardons cela comme nous avons regardé l'école
parce que ce que nous voyons ici est
une fonction quadratique vers, par exemple,
dx ou dy ou peut-être que c'est une relation quelconque.
Nous regardons quelque chose qui
ressemble à ax squared plus bx
plus c. Qu'est-ce que nous attendons à trouver ici ?
On s'attend à ce que cette fonction soit toujours positive.
Comment cela peut-il arriver ?
Comme vous vous en souvenez aussi,
le graphique de cette fonction est parabole et
il ressemble à ceci ou à ceci ou peut-être comme celui-ci.
Bien sûr, ce que nous devrions
exiger de notre deuxième différentiel,
de notre fonction quadratique
pour qu'il soit toutes les réponses, eh bien,
tout d'abord il devrait
être avec un discriminant négatif ici.
Parce que s'il a des racines,
il a donc des valeurs positives et négatives
et donc nous n'allons pas
avoir notre signe plus strict comme dans notre règle proposée.
Nous devons donc examiner le discriminant de notre fonction.
Rappelez-vous B carré moins 4ac,
puis demandez-lui d'être négatif, pas de racines.
Pour l'autre partie, cela dépend
si une fonction parabolique
n'a pas de racines, elle est notée vers le haut ou vers le bas.
Donc qui est fondamentalement défini par
le premier coefficient qui
est le deuxième dérivé vers x deux fois.
Donc ce qu'on obtient ici,
on arrive ici le premier.
Nous devons nous relayer
sur le discriminant de la fonction parabolique.
Dans notre cas, c'est notre capital variable D ici, ce
qui signifie soit que cette fonction parabolique n'a pas des racines.
Donc, si ce D qui est un discriminant négatif dans
notre cas est positif alors il n'a pas de racines.
Ainsi, il peut être convexe ou concave.
Si bien, le reste de assez facile.
Si le premier coefficient est positif,
alors c'est convexe, alors si c'est
négatif, c'est concave, et c'est tout.
En utilisant uniquement notre école, l'
algèbre vient de trouver l'idée de comment
définir la convexité multivariée.
La chose est que notre convexité et
notre règle est repo de l'algèbre linéaire parce que c'
est le concept de définition semi-positive
de la forme du deuxième différentiel mais vous
allez en apprendre plus à ce sujet au cours de l'
algèbre linéaire ou dans nos matériaux supplémentaires comme toujours. D'
ici maintenant, pour nous
assurer que nous comprenons ce qui se passe,
considérons l'exemple suivant.
Regardons la fonction un carré
plus par carré plus c, xy.
Tout d'abord, calculer le deuxième différentiel et
définir dans quelles conditions sur a,
b, c je vais juste dire que a, b,
c sont réels et ne sont pas des zéros,
juste pour simplifier le cas.
Alors qu'est-ce qu'on va faire en premier ?
Nous allons commencer avec des dérivés partiels, ce qui
est le cas le plus facile parce que vers x
est 2ax plus cy
et vers y est 2by plus cx.
Ensuite, nous allons simplement écrire
les deuxièmes dérivés partiels.
Je pense que nous allons même éviter d'écrire
notre deuxième différentiel et
simplement utiliser nos
racines de convexité ou de concavité directement.
Donc, le deuxième dérivé vers x est la dérivée
du premier dérivé partiel vers x.
il est donc 2a, il en va de
même pour
les deuxièmes dérivées partielles vers y,
deux fois ce qui est 2b.
En conséquence, et en ce qui concerne le dérivé vers xy,
nous allons écrire comme
ac parce que nous devons par exemple
différencier le dérivé vers x
par y qui est c. Alors, quel est notre discriminant négatif ?
C' est D pendant qu'il est ici.
Nous devons multiplier notre dérivé partiel
vers x et vers ys et
soustraire la dérivée partielle vers x et y au carré.
Donc nous allons écrire 4ab moins c au carré.
Eh bien, comme vous pouvez tous le comprendre,
c'est lié au discriminant lui-même.
Donc c'est à peu près la raison pour laquelle nous l'utilisons.
Supposons donc par exemple certains cas.
Par exemple, ce que nous devons
demander pour obtenir une certaine convexité ou concavité ici,
nous devons demander de d est une valeur positive donc
4ab devrait être plus grand que c carré.
Alors, qu'est-ce qu'on peut attendre d'ici ?
Si a est positif, nous devrions nous attendre à ce qu'il soit convexe.
Si a est négatif,
alors nous devrions nous attendre à ce qu'il
soit concave, et ce sont les résultats.
Mais la question que nous devrions
terminer est la question de savoir si oui ou non
nous comprenons réellement pourquoi
nous parlons par exemple
du premier coefficient vers x et non le
premier coefficient vers y.
Parce que bien, vous pouvez facilement voir que x et
y sont interceptables ici.
Donc, vous pouvez simplement regarder non pas sur le premier ou le
deuxième dérivé vers x deux fois, mais
sur le deuxième dérivé vers y deux fois.
C' est là que notre règle d entre dans la lumière parce
que supposons que nous avons positif
a donc nous devrions comprendre que notre fonction est convexe.
Donc, selon notre règle,
si a est positif c carré est positif
donc b devrait aussi être positif.
La même chose s'applique pour le négatif a,
il devrait être toujours négatif donc
peu importe ce que nous regardons.
Le deuxième dérivé vers x deux fois ou vers
y deux fois son toujours devrait être
le même signe et
nos conclusions devraient toujours être les mêmes.
La dernière chose que nous allons voir ici est
que les cas où nous avons des zéros qui
font nos calculs sont difficiles et nécessitent
plus d'attention comme le prévoit
cette règle simple que nous venons de prouver, de
construire et de faire l'objet de fantaisie.
Nous allons donc
élaborer plus à ce sujet pendant que nous parlons de
notre routine d'optimisation la semaine dernière, je crois.
Pour l'instant, nous venons de trouver
l'idée de détermination de la convexité sur le [inaudible]