Donc, la chose que nous devons trouver sur la convexité est le lien entre la convexité et les deuxièmes dérivés. Supposons donc que nous allons trouver des termes en commun entre le cas unique varié et son lien entre le second G avec une convexité différente et un cas multivarié. Eh bien, la connexion directe ici diffère parce que bien, ce que vous êtes attendu à voir ici est l'idée que la deuxième dérivée de fonctions variables uniques devrait être positive pour qu'une fonction soit convexe. Bien sûr, il y a un cas concave comme vous vous en souvenez tous, mais c'est le même [inaudible] Donc nous n'en discutons pas. Eh bien, c'est évident. Donc, bien sûr, nous n'avons pas l'idée de la deuxième dérivée partielle ici. Nous ne comprenons pas ce que c'est. Quel est le concept, ainsi que nous ne savons pas ce qui est le premier dérivé de l'ensemble de la fonction multivariée est. Mais ce que nous pouvons faire ici, supposons que notre deuxième dérivé est positif pour tous les x sur par exemple, certains segments. Ensuite, si nous le multiplions par dx carré non négatif lorsque l'inégalité tient. Mais les choses que nous nous sommes réellement entrés dans, dans la partie gauche de l'équation est le deuxième différentiel de la fonction f qui est positif pour tous les changements possibles de l'argument. C' est donc le concept qui ou ce qui existe dans le cas des fonctions multivariées et nous allons généraliser notre règle de convexité hors de celui-ci. Supposons que nous allons dire à peu près la même chose. La fonction est convexe si le deuxième différentiel est positif pour tous les changements possibles de variables. C'est très bien. C' est sympa. Mais nous avons un problème ici parce que les changements de variables sont un vecteur ici. Changements vers x, changements vers y dérive le vecteur droit. Nous devons donc comprendre comment définir correctement le cas si ce deuxième différentiel est toujours positif ou non. Tout d'abord, examinons le deuxième différentiel dans sa forme complète. Regardons cela comme nous avons regardé l'école parce que ce que nous voyons ici est une fonction quadratique vers, par exemple, dx ou dy ou peut-être que c'est une relation quelconque. Nous regardons quelque chose qui ressemble à ax squared plus bx plus c. Qu'est-ce que nous attendons à trouver ici ? On s'attend à ce que cette fonction soit toujours positive. Comment cela peut-il arriver ? Comme vous vous en souvenez aussi, le graphique de cette fonction est parabole et il ressemble à ceci ou à ceci ou peut-être comme celui-ci. Bien sûr, ce que nous devrions exiger de notre deuxième différentiel, de notre fonction quadratique pour qu'il soit toutes les réponses, eh bien, tout d'abord il devrait être avec un discriminant négatif ici. Parce que s'il a des racines, il a donc des valeurs positives et négatives et donc nous n'allons pas avoir notre signe plus strict comme dans notre règle proposée. Nous devons donc examiner le discriminant de notre fonction. Rappelez-vous B carré moins 4ac, puis demandez-lui d'être négatif, pas de racines. Pour l'autre partie, cela dépend si une fonction parabolique n'a pas de racines, elle est notée vers le haut ou vers le bas. Donc qui est fondamentalement défini par le premier coefficient qui est le deuxième dérivé vers x deux fois. Donc ce qu'on obtient ici, on arrive ici le premier. Nous devons nous relayer sur le discriminant de la fonction parabolique. Dans notre cas, c'est notre capital variable D ici, ce qui signifie soit que cette fonction parabolique n'a pas des racines. Donc, si ce D qui est un discriminant négatif dans notre cas est positif alors il n'a pas de racines. Ainsi, il peut être convexe ou concave. Si bien, le reste de assez facile. Si le premier coefficient est positif, alors c'est convexe, alors si c'est négatif, c'est concave, et c'est tout. En utilisant uniquement notre école, l' algèbre vient de trouver l'idée de comment définir la convexité multivariée. La chose est que notre convexité et notre règle est repo de l'algèbre linéaire parce que c' est le concept de définition semi-positive de la forme du deuxième différentiel mais vous allez en apprendre plus à ce sujet au cours de l' algèbre linéaire ou dans nos matériaux supplémentaires comme toujours. D' ici maintenant, pour nous assurer que nous comprenons ce qui se passe, considérons l'exemple suivant. Regardons la fonction un carré plus par carré plus c, xy. Tout d'abord, calculer le deuxième différentiel et définir dans quelles conditions sur a, b, c je vais juste dire que a, b, c sont réels et ne sont pas des zéros, juste pour simplifier le cas. Alors qu'est-ce qu'on va faire en premier ? Nous allons commencer avec des dérivés partiels, ce qui est le cas le plus facile parce que vers x est 2ax plus cy et vers y est 2by plus cx. Ensuite, nous allons simplement écrire les deuxièmes dérivés partiels. Je pense que nous allons même éviter d'écrire notre deuxième différentiel et simplement utiliser nos racines de convexité ou de concavité directement. Donc, le deuxième dérivé vers x est la dérivée du premier dérivé partiel vers x. il est donc 2a, il en va de même pour les deuxièmes dérivées partielles vers y, deux fois ce qui est 2b. En conséquence, et en ce qui concerne le dérivé vers xy, nous allons écrire comme ac parce que nous devons par exemple différencier le dérivé vers x par y qui est c. Alors, quel est notre discriminant négatif ? C' est D pendant qu'il est ici. Nous devons multiplier notre dérivé partiel vers x et vers ys et soustraire la dérivée partielle vers x et y au carré. Donc nous allons écrire 4ab moins c au carré. Eh bien, comme vous pouvez tous le comprendre, c'est lié au discriminant lui-même. Donc c'est à peu près la raison pour laquelle nous l'utilisons. Supposons donc par exemple certains cas. Par exemple, ce que nous devons demander pour obtenir une certaine convexité ou concavité ici, nous devons demander de d est une valeur positive donc 4ab devrait être plus grand que c carré. Alors, qu'est-ce qu'on peut attendre d'ici ? Si a est positif, nous devrions nous attendre à ce qu'il soit convexe. Si a est négatif, alors nous devrions nous attendre à ce qu'il soit concave, et ce sont les résultats. Mais la question que nous devrions terminer est la question de savoir si oui ou non nous comprenons réellement pourquoi nous parlons par exemple du premier coefficient vers x et non le premier coefficient vers y. Parce que bien, vous pouvez facilement voir que x et y sont interceptables ici. Donc, vous pouvez simplement regarder non pas sur le premier ou le deuxième dérivé vers x deux fois, mais sur le deuxième dérivé vers y deux fois. C' est là que notre règle d entre dans la lumière parce que supposons que nous avons positif a donc nous devrions comprendre que notre fonction est convexe. Donc, selon notre règle, si a est positif c carré est positif donc b devrait aussi être positif. La même chose s'applique pour le négatif a, il devrait être toujours négatif donc peu importe ce que nous regardons. Le deuxième dérivé vers x deux fois ou vers y deux fois son toujours devrait être le même signe et nos conclusions devraient toujours être les mêmes. La dernière chose que nous allons voir ici est que les cas où nous avons des zéros qui font nos calculs sont difficiles et nécessitent plus d'attention comme le prévoit cette règle simple que nous venons de prouver, de construire et de faire l'objet de fantaisie. Nous allons donc élaborer plus à ce sujet pendant que nous parlons de notre routine d'optimisation la semaine dernière, je crois. Pour l'instant, nous venons de trouver l'idée de détermination de la convexité sur le [inaudible]