Quindi la cosa che ci aspettiamo di trovare
sulla convessità è il legame tra
la convessità e le seconde derivate.
Quindi supponiamo che stiamo andando a trovare termini in
comune tra singolo caso variato e il
suo legame tra la seconda G con
convessità diversa e caso multivariato.
Bene, la connessione diretta qui
è diversa perché bene,
quello che ci si aspetta di vedere qui è l'idea che la seconda
derivata delle singole funzioni variate
dovrebbe essere positiva affinché una funzione sia convessa.
Naturalmente, c'è un caso concavo
come tutti voi ricordate, ma
è lo stesso [inudibile] Quindi non ne stiamo discutendo.
Beh, e' ovvio. Quindi, naturalmente,
non abbiamo l'idea
della seconda derivata parziale qui.
Non capiamo cosa sia.
Qual è il concetto, così come non sappiamo
qual è la prima derivata
dell'intera funzione multivariata è.
Ma quello che possiamo fare qui,
supponiamo che la nostra seconda derivata
sia positiva per tutte le x ad esempio, alcuni segmenti.
Quindi se lo moltiplichiamo per dx al
quadrato non negativo quando la disuguaglianza rimane.
Ma le cose in cui siamo effettivamente entrati,
nella parte sinistra dell'equazione è
il secondo differenziale di funzione
f che è positivo per
tutti i possibili cambiamenti dell'argomento.
Quindi questo è il concetto
che o cosa esiste nel caso delle
funzioni multivariate e stiamo andando a
generalizzare la nostra regola convessità fuori di esso.
Quindi supponiamo che
diremo più o meno la stessa cosa.
La funzione è convessa se il secondo differenziale è
positivo per tutti i possibili cambiamenti
di variabili. Questo va bene.
Che bello. Ma abbiamo
un problema qui perché i cambiamenti delle
variabili sono un vettore qui.
Cambiamenti verso x, cambiamenti
verso y deriva il vettore destro.
Quindi dobbiamo capire come definire correttamente il caso
se
questo secondo differenziale è sempre positivo.
In primo luogo, esaminiamo
il secondo differenziale nella sua forma completa.
Vediamo come abbiamo guardato a scuola
perché quello che stiamo vedendo qui è
una funzione quadratica verso, ad esempio,
dx o dy o forse è una relazione di sorta.
Stiamo guardando qualcosa che
assomiglia a ax quadrato più bx
plus c. Cosa ci aspettiamo di trovare qui?
Ci aspettiamo che questa funzione sia sempre positiva.
Come può succedere?
Come anche tu ricordi,
il grafico di questa funzione è parabola e
sembra questo o come questo o forse come questo.
Naturalmente, ciò che dovremmo
chiedere dal nostro secondo differenziale,
dalla nostra funzione quadratica
in modo che sia tutte le risposte, beh,
prima di tutto dovrebbe
essere con una discriminazione negativa qui.
Perché se ha radici,
quindi ha un valore positivo e negativo
e quindi non abbiamo intenzione di
avere il nostro segno più rigoroso come nella nostra regola proposta.
Dobbiamo quindi considerare la discriminazione della nostra funzione.
Ricorda B al quadrato meno 4ac,
e poi basta chiedere di essere negativo, senza radici.
Per l'altra parte, dipende
se una funzione parabolica
non ha radici, è valutata verso l'alto o verso il basso.
Quindi che è fondamentalmente definito
dal primo coefficiente che
è il secondo derivato verso x due volte.
Quindi quello che
otteniamo qui, arriviamo qui il primo.
Dobbiamo
riferirci alla discriminazione della funzione parabolica.
Nel nostro caso è la nostra variabile D capitale qui, il
che significa o non questa funzione parabolica ha radici.
Quindi se questa D che è un discriminante negativo nel
nostro caso è positiva allora non ha radici.
Quindi può essere convesso o concavo.
Se bene, il resto del abbastanza facile.
Se il primo coefficiente è positivo,
allora è convesso, allora se è
negativo è concavo, e questo è tutto.
Usando solo la nostra scuola, l'
algebra ha appena escogitato l'idea di come
definire la convessità multivariata.
Il fatto è che la nostra convessità e la
nostra regola sono repo dall'algebra lineare perché
è il concetto di definizione semi positiva
della forma del secondo differenziale ma si sta
andando ad imparare di più su di esso nel corso di
algebra lineare o nei nostri materiali aggiuntivi come sempre.
A questo punto per
fare in modo che noi capiamo cosa sta succedendo,
consideriamo il seguente esempio.
Diamo un'occhiata alla funzione un quadrato
più da quadrato più c, xy.
In primo luogo, calcolare il secondo differenziale e
definire in quali condizioni su a,
b, c sto solo andando a dire che a, b,
c sono reali e non sono zeri,
solo per semplificare il caso.
Allora, cosa faremo prima?
Inizieremo con derivati parziali che
è il caso più semplice perché verso x
è 2ax più cy
e verso y è 2by più cx.
Poi ci limiteremo a scrivere
i secondi derivati parziali.
Penso che eviteremo persino di scrivere il
nostro secondo differenziale e
useremo semplicemente le nostre
radici convessità o concavità.
Quindi la seconda derivata verso x è la derivata
della prima derivata parziale verso x.
Quindi è 2a,
lo stesso vale per
le seconde derivate parziali verso y,
due volte che è 2b.
Come risultato e per quanto riguarda la derivata verso xy,
stiamo andando a scrivere come
ac perché abbiamo bisogno per esempio,
differenziare la
derivata verso x per y che è c. Quindi qual è il nostro discriminante negativo?
E' D mentre e' qui dentro.
Dobbiamo moltiplicare la nostra derivata parziale
verso x e verso ys e
sottrarre derivata parziale verso x e y al quadrato.
Quindi stiamo andando a scrivere 4ab meno c al quadrato.
Beh, come tutti voi potete capire,
è legato al discriminante stesso.
Quindi è praticamente il motivo per cui lo stiamo usando.
Quindi supponiamo per esempio alcuni casi.
Ad esempio, quello che dobbiamo
chiedere per ottenere qualche convessità o concavità qui,
dobbiamo chiedere di d è un valore positivo quindi
4ab dovrebbe essere più grande di c al quadrato.
Quindi cosa possiamo aspettarci da qui?
Se a è positivo allora dovremmo aspettarci che sia convesso.
Se a è negativo,
allora dovremmo aspettarci che
sia concavo, e questo è il risultato.
Ma le domande che dovremmo
finire con è la questione se
effettivamente
capiamo perché stiamo parlando per esempio
del primo coefficiente verso x e non
primo coefficiente verso y.
Perché bene, si può facilmente vedere che x e
y sono intercettabili Qui.
Quindi puoi semplicemente guardare non sulla prima o sulla
seconda derivata verso x due volte ma
sulla seconda derivata verso y due volte.
Questo è dove la nostra regola d viene alla luce perché
supponiamo che abbiamo positivo
a quindi dovremmo capire che la nostra funzione è convessa.
Quindi, secondo la nostra regola,
se a è positivo c quadrato è positivo
quindi b anche dovrebbe essere positivo.
Lo stesso vale per il negativo a,
ci b dovrebbe essere sempre negativo quindi
non importa quello che stiamo guardando.
La seconda derivata verso x due volte o verso
y due volte la sua sempre dovrebbe essere
lo stesso segno e
le nostre conclusioni dovrebbero essere sempre le stesse.
L' ultima cosa che vedremo qui è
che i casi in cui abbiamo alcuni zeri che
fanno i nostri calcoli sono complicati e necessitano di
maggiore attenzione, come previsto da
questa semplice regola che abbiamo appena dimostrato
, costruito e realmente immaginato.
Quindi stiamo andando a
approfondire di più su questo mentre stiamo parlando della
nostra routine di ottimizzazione nella scorsa settimana credo.
Per ora, abbiamo appena escogitato
l'idea di determinazione della convessità sul [inudibile]