Quindi la cosa che ci aspettiamo di trovare sulla convessità è il legame tra la convessità e le seconde derivate. Quindi supponiamo che stiamo andando a trovare termini in comune tra singolo caso variato e il suo legame tra la seconda G con convessità diversa e caso multivariato. Bene, la connessione diretta qui è diversa perché bene, quello che ci si aspetta di vedere qui è l'idea che la seconda derivata delle singole funzioni variate dovrebbe essere positiva affinché una funzione sia convessa. Naturalmente, c'è un caso concavo come tutti voi ricordate, ma è lo stesso [inudibile] Quindi non ne stiamo discutendo. Beh, e' ovvio. Quindi, naturalmente, non abbiamo l'idea della seconda derivata parziale qui. Non capiamo cosa sia. Qual è il concetto, così come non sappiamo qual è la prima derivata dell'intera funzione multivariata è. Ma quello che possiamo fare qui, supponiamo che la nostra seconda derivata sia positiva per tutte le x ad esempio, alcuni segmenti. Quindi se lo moltiplichiamo per dx al quadrato non negativo quando la disuguaglianza rimane. Ma le cose in cui siamo effettivamente entrati, nella parte sinistra dell'equazione è il secondo differenziale di funzione f che è positivo per tutti i possibili cambiamenti dell'argomento. Quindi questo è il concetto che o cosa esiste nel caso delle funzioni multivariate e stiamo andando a generalizzare la nostra regola convessità fuori di esso. Quindi supponiamo che diremo più o meno la stessa cosa. La funzione è convessa se il secondo differenziale è positivo per tutti i possibili cambiamenti di variabili. Questo va bene. Che bello. Ma abbiamo un problema qui perché i cambiamenti delle variabili sono un vettore qui. Cambiamenti verso x, cambiamenti verso y deriva il vettore destro. Quindi dobbiamo capire come definire correttamente il caso se questo secondo differenziale è sempre positivo. In primo luogo, esaminiamo il secondo differenziale nella sua forma completa. Vediamo come abbiamo guardato a scuola perché quello che stiamo vedendo qui è una funzione quadratica verso, ad esempio, dx o dy o forse è una relazione di sorta. Stiamo guardando qualcosa che assomiglia a ax quadrato più bx plus c. Cosa ci aspettiamo di trovare qui? Ci aspettiamo che questa funzione sia sempre positiva. Come può succedere? Come anche tu ricordi, il grafico di questa funzione è parabola e sembra questo o come questo o forse come questo. Naturalmente, ciò che dovremmo chiedere dal nostro secondo differenziale, dalla nostra funzione quadratica in modo che sia tutte le risposte, beh, prima di tutto dovrebbe essere con una discriminazione negativa qui. Perché se ha radici, quindi ha un valore positivo e negativo e quindi non abbiamo intenzione di avere il nostro segno più rigoroso come nella nostra regola proposta. Dobbiamo quindi considerare la discriminazione della nostra funzione. Ricorda B al quadrato meno 4ac, e poi basta chiedere di essere negativo, senza radici. Per l'altra parte, dipende se una funzione parabolica non ha radici, è valutata verso l'alto o verso il basso. Quindi che è fondamentalmente definito dal primo coefficiente che è il secondo derivato verso x due volte. Quindi quello che otteniamo qui, arriviamo qui il primo. Dobbiamo riferirci alla discriminazione della funzione parabolica. Nel nostro caso è la nostra variabile D capitale qui, il che significa o non questa funzione parabolica ha radici. Quindi se questa D che è un discriminante negativo nel nostro caso è positiva allora non ha radici. Quindi può essere convesso o concavo. Se bene, il resto del abbastanza facile. Se il primo coefficiente è positivo, allora è convesso, allora se è negativo è concavo, e questo è tutto. Usando solo la nostra scuola, l' algebra ha appena escogitato l'idea di come definire la convessità multivariata. Il fatto è che la nostra convessità e la nostra regola sono repo dall'algebra lineare perché è il concetto di definizione semi positiva della forma del secondo differenziale ma si sta andando ad imparare di più su di esso nel corso di algebra lineare o nei nostri materiali aggiuntivi come sempre. A questo punto per fare in modo che noi capiamo cosa sta succedendo, consideriamo il seguente esempio. Diamo un'occhiata alla funzione un quadrato più da quadrato più c, xy. In primo luogo, calcolare il secondo differenziale e definire in quali condizioni su a, b, c sto solo andando a dire che a, b, c sono reali e non sono zeri, solo per semplificare il caso. Allora, cosa faremo prima? Inizieremo con derivati parziali che è il caso più semplice perché verso x è 2ax più cy e verso y è 2by più cx. Poi ci limiteremo a scrivere i secondi derivati parziali. Penso che eviteremo persino di scrivere il nostro secondo differenziale e useremo semplicemente le nostre radici convessità o concavità. Quindi la seconda derivata verso x è la derivata della prima derivata parziale verso x. Quindi è 2a, lo stesso vale per le seconde derivate parziali verso y, due volte che è 2b. Come risultato e per quanto riguarda la derivata verso xy, stiamo andando a scrivere come ac perché abbiamo bisogno per esempio, differenziare la derivata verso x per y che è c. Quindi qual è il nostro discriminante negativo? E' D mentre e' qui dentro. Dobbiamo moltiplicare la nostra derivata parziale verso x e verso ys e sottrarre derivata parziale verso x e y al quadrato. Quindi stiamo andando a scrivere 4ab meno c al quadrato. Beh, come tutti voi potete capire, è legato al discriminante stesso. Quindi è praticamente il motivo per cui lo stiamo usando. Quindi supponiamo per esempio alcuni casi. Ad esempio, quello che dobbiamo chiedere per ottenere qualche convessità o concavità qui, dobbiamo chiedere di d è un valore positivo quindi 4ab dovrebbe essere più grande di c al quadrato. Quindi cosa possiamo aspettarci da qui? Se a è positivo allora dovremmo aspettarci che sia convesso. Se a è negativo, allora dovremmo aspettarci che sia concavo, e questo è il risultato. Ma le domande che dovremmo finire con è la questione se effettivamente capiamo perché stiamo parlando per esempio del primo coefficiente verso x e non primo coefficiente verso y. Perché bene, si può facilmente vedere che x e y sono intercettabili Qui. Quindi puoi semplicemente guardare non sulla prima o sulla seconda derivata verso x due volte ma sulla seconda derivata verso y due volte. Questo è dove la nostra regola d viene alla luce perché supponiamo che abbiamo positivo a quindi dovremmo capire che la nostra funzione è convessa. Quindi, secondo la nostra regola, se a è positivo c quadrato è positivo quindi b anche dovrebbe essere positivo. Lo stesso vale per il negativo a, ci b dovrebbe essere sempre negativo quindi non importa quello che stiamo guardando. La seconda derivata verso x due volte o verso y due volte la sua sempre dovrebbe essere lo stesso segno e le nostre conclusioni dovrebbero essere sempre le stesse. L' ultima cosa che vedremo qui è che i casi in cui abbiamo alcuni zeri che fanno i nostri calcoli sono complicati e necessitano di maggiore attenzione, come previsto da questa semplice regola che abbiamo appena dimostrato , costruito e realmente immaginato. Quindi stiamo andando a approfondire di più su questo mentre stiamo parlando della nostra routine di ottimizzazione nella scorsa settimana credo. Per ora, abbiamo appena escogitato l'idea di determinazione della convessità sul [inudibile]