Então, o que se espera encontrar sobre
a convexidade é a ligação entre
a convexidade e os segundos derivados.
Então vamos supor que vamos encontrar termos em
comum entre caso variado único e
sua ligação entre o segundo G com
convexidade diferente e caso multivariado.
Bem, a conexão direta aqui
é diferente porque bem,
o que você espera ver aqui é a idéia de que a segunda
derivada de funções variadas únicas
deve ser positiva para uma função ser convexa.
Claro, há um caso côncavo,
como todos se lembram, mas
é o mesmo, então não estamos discutindo.
Bem, é óbvio. Então, é claro,
nós não temos a idéia
do segundo derivado parcial aqui.
Não entendemos o que é.
Qual é o conceito, assim como não sabemos
qual é a primeira derivada
de toda a função multivariada é.
Mas o que podemos fazer aqui,
suponha que nossa segunda derivada
é positiva para todos os x em, por exemplo, alguns segmentos.
Então, se multiplicarmos por dx
ao quadrado não-negativo quando a desigualdade se mantém.
Mas as coisas que nós realmente nos metemos,
na parte esquerda da equação é
o segundo diferencial de função
f que é positivo para
todas as possíveis mudanças do argumento.
Então esse é o conceito
que ou o que existe no caso de
funções multivariadas e nós vamos
generalizar nossa regra de convexidade fora dela.
Então suponha que
vamos dizer praticamente a mesma coisa.
A função é convexa se o segundo diferencial for
positivo para todas as possíveis mudanças
de variáveis. Isso é bom.
Isso é legal. Mas temos
um problema aqui porque mudanças de
variáveis são um vetor aqui.
Mudanças em direção a x, mudanças
em direção a y deriva o vetor direito.
Portanto, precisamos entender como definir corretamente o caso
se
este segundo diferencial é sempre positivo ou não.
Em primeiro lugar, vejamos
o segundo diferencial na sua forma completa.
Vamos olhar para isso como temos estado a olhar para a escola
porque o que estamos a ver aqui é
uma função quadrática para, por exemplo,
dx ou dy ou talvez seja uma relação qualquer.
Estamos olhando para algo que
se assemelha machado quadrado
mais bx mais c. O que se espera encontrar aqui?
Espera-se que esta função seja sempre positiva.
Como isso pode acontecer?
Como você também se lembra,
o gráfico desta função é parábola e
parece com isso ou assim ou talvez como este.
Claro, o que devemos
exigir do nosso segundo diferencial,
da nossa função quadrática
para que ela seja todas as respostas, bem, em
primeiro lugar deve
ser com um discriminante negativo aqui.
Porque se tem alguma raiz,
assim tem valores positivos e negativos e,
portanto, não vamos
ter o nosso sinal mais rigoroso como na nossa regra proposta.
Por isso, temos de olhar para o discriminante da nossa função.
Lembre-se B ao quadrado menos 4ac,
e então apenas peça para ser negativo, sem raízes.
Para a outra parte, depende
se uma função parabólica
não tem raízes, ou é classificada para cima ou para baixo.
Então, que é basicamente definido
pelo primeiro coeficiente que
é a segunda derivada para x duas vezes.
Então, o que temos aqui,
nós chegamos aqui o primeiro.
Precisamos retransmitir
para o discriminante da função parabólica.
No nosso caso, é a nossa variável D capital aqui,
o que significa que ou não esta função parabólica tem raízes.
Então, se este D, que é um discriminante negativo no
nosso caso, é positivo, então não tem raízes.
Assim, pode ser convexo ou côncavo.
Se bem, o resto de muito fácil.
Se o primeiro coeficiente é positivo,
então é convexo, então se for
negativo é côncavo, e isso é tudo.
Usando apenas a nossa escola,
álgebra apenas vem com a idéia de como
definir convexidade multivariada.
A coisa é que nossa convexidade e
nossa regra é repo de álgebra linear porque
é o conceito de definição semi positiva
da forma do segundo diferencial, mas você
vai aprender mais sobre isso no curso da
álgebra linear ou em nossos materiais adicionais como sempre.
Até agora para
ter certeza de que nós entendemos o que está acontecendo,
vamos considerar o seguinte exemplo.
Vejamos a função um quadrado
mais por quadrado mais c, xy.
Em primeiro lugar, calcular o segundo diferencial e
definir em que condições em a
, b, c eu vou apenas dizer que a, b,
c são reais e não são zeros,
apenas para simplificar o caso.
Então, o que vamos fazer primeiro?
Vamos começar com derivativos parciais que
é o caso mais fácil porque para x
é 2ax mais cy
e para y é 2by mais cx.
Então vamos apenas anotar
os segundos derivados parciais.
Acho que vamos até mesmo evitar anotar
nosso segundo diferencial e
usar nossas
raízes de convexidade ou concavidade diretamente.
Assim, a segunda derivada em direção a x é a derivada
da primeira derivada parcial em direção a x.
Então é 2a,
o mesmo se aplica para
os segundos derivados parciais em direção a y,
duas vezes que é 2b.
Como resultado e quanto à derivada para xy,
vamos escrever como
ac porque precisamos, por exemplo,
diferenciar a derivada para x
por y que é c. Então, qual é o nosso discriminante negativo?
É D enquanto aqui está.
Precisamos multiplicar nossa derivada parcial
para x e para ys e
subtrair derivada parcial para x e y ao quadrado.
Então vamos escrever 4ab menos c ao quadrado.
Bem, como todos podem entender,
está relacionado com o próprio discriminante.
Então, essa é a razão pela qual estamos usando.
Então, vamos supor, por exemplo, alguns casos.
Por exemplo, o que precisamos
pedir para obter alguma convexidade ou concavidade aqui,
precisamos pedir de d é um valor positivo então
4ab deve ser maior do que c ao quadrado.
Então, o que podemos esperar daqui?
Se um é positivo, então devemos esperar que ele é convexo.
Se um é negativo,
então devemos esperar que ele
é côncavo, e esses são os resultados.
Mas as perguntas que devemos
terminar com é a questão de saber se
realmente entendemos por que
estamos falando, por exemplo,
do primeiro coeficiente para x e não
primeiro coeficiente para y.
porque bem, você pode facilmente ver que x e
y são interceptáveis Aqui.
Então você pode simplesmente olhar não na primeira ou
segunda derivada em direção a x duas vezes, mas
na segunda derivada em direção a y duas vezes.
Este é o lugar onde a nossa regra d vem para a luz, porque
supor que temos
um positivo, portanto, devemos entender que nossa função é convexa.
Assim, por nossa regra,
se a é positivo c ao quadrado é positivo
, então b também deve ser positivo.
O mesmo se aplica para o negativo a,
há b deve ser sempre negativo,
portanto, não importa realmente o que estamos olhando.
A segunda derivada para x duas vezes ou para
y duas vezes sua sempre deve ser
o mesmo sinal e
nossas conclusões devem ser sempre as mesmas.
A última coisa que vamos ver aqui é
que os casos em que temos alguns zeros
fazendo nossos cálculos são complicados e precisam de
mais atenção conforme fornecido por
esta regra simples que acabamos de provar
, construir e realmente imaginamos.
Então nós vamos
elaborar mais sobre isso enquanto estamos falando sobre
nossa rotina de otimização na última semana, eu acredito.
Por enquanto, nós acabamos de chegar com
a idéia de determinação de convexidade no [inaudível]