Então, o que se espera encontrar sobre a convexidade é a ligação entre a convexidade e os segundos derivados. Então vamos supor que vamos encontrar termos em comum entre caso variado único e sua ligação entre o segundo G com convexidade diferente e caso multivariado. Bem, a conexão direta aqui é diferente porque bem, o que você espera ver aqui é a idéia de que a segunda derivada de funções variadas únicas deve ser positiva para uma função ser convexa. Claro, há um caso côncavo, como todos se lembram, mas é o mesmo, então não estamos discutindo. Bem, é óbvio. Então, é claro, nós não temos a idéia do segundo derivado parcial aqui. Não entendemos o que é. Qual é o conceito, assim como não sabemos qual é a primeira derivada de toda a função multivariada é. Mas o que podemos fazer aqui, suponha que nossa segunda derivada é positiva para todos os x em, por exemplo, alguns segmentos. Então, se multiplicarmos por dx ao quadrado não-negativo quando a desigualdade se mantém. Mas as coisas que nós realmente nos metemos, na parte esquerda da equação é o segundo diferencial de função f que é positivo para todas as possíveis mudanças do argumento. Então esse é o conceito que ou o que existe no caso de funções multivariadas e nós vamos generalizar nossa regra de convexidade fora dela. Então suponha que vamos dizer praticamente a mesma coisa. A função é convexa se o segundo diferencial for positivo para todas as possíveis mudanças de variáveis. Isso é bom. Isso é legal. Mas temos um problema aqui porque mudanças de variáveis são um vetor aqui. Mudanças em direção a x, mudanças em direção a y deriva o vetor direito. Portanto, precisamos entender como definir corretamente o caso se este segundo diferencial é sempre positivo ou não. Em primeiro lugar, vejamos o segundo diferencial na sua forma completa. Vamos olhar para isso como temos estado a olhar para a escola porque o que estamos a ver aqui é uma função quadrática para, por exemplo, dx ou dy ou talvez seja uma relação qualquer. Estamos olhando para algo que se assemelha machado quadrado mais bx mais c. O que se espera encontrar aqui? Espera-se que esta função seja sempre positiva. Como isso pode acontecer? Como você também se lembra, o gráfico desta função é parábola e parece com isso ou assim ou talvez como este. Claro, o que devemos exigir do nosso segundo diferencial, da nossa função quadrática para que ela seja todas as respostas, bem, em primeiro lugar deve ser com um discriminante negativo aqui. Porque se tem alguma raiz, assim tem valores positivos e negativos e, portanto, não vamos ter o nosso sinal mais rigoroso como na nossa regra proposta. Por isso, temos de olhar para o discriminante da nossa função. Lembre-se B ao quadrado menos 4ac, e então apenas peça para ser negativo, sem raízes. Para a outra parte, depende se uma função parabólica não tem raízes, ou é classificada para cima ou para baixo. Então, que é basicamente definido pelo primeiro coeficiente que é a segunda derivada para x duas vezes. Então, o que temos aqui, nós chegamos aqui o primeiro. Precisamos retransmitir para o discriminante da função parabólica. No nosso caso, é a nossa variável D capital aqui, o que significa que ou não esta função parabólica tem raízes. Então, se este D, que é um discriminante negativo no nosso caso, é positivo, então não tem raízes. Assim, pode ser convexo ou côncavo. Se bem, o resto de muito fácil. Se o primeiro coeficiente é positivo, então é convexo, então se for negativo é côncavo, e isso é tudo. Usando apenas a nossa escola, álgebra apenas vem com a idéia de como definir convexidade multivariada. A coisa é que nossa convexidade e nossa regra é repo de álgebra linear porque é o conceito de definição semi positiva da forma do segundo diferencial, mas você vai aprender mais sobre isso no curso da álgebra linear ou em nossos materiais adicionais como sempre. Até agora para ter certeza de que nós entendemos o que está acontecendo, vamos considerar o seguinte exemplo. Vejamos a função um quadrado mais por quadrado mais c, xy. Em primeiro lugar, calcular o segundo diferencial e definir em que condições em a , b, c eu vou apenas dizer que a, b, c são reais e não são zeros, apenas para simplificar o caso. Então, o que vamos fazer primeiro? Vamos começar com derivativos parciais que é o caso mais fácil porque para x é 2ax mais cy e para y é 2by mais cx. Então vamos apenas anotar os segundos derivados parciais. Acho que vamos até mesmo evitar anotar nosso segundo diferencial e usar nossas raízes de convexidade ou concavidade diretamente. Assim, a segunda derivada em direção a x é a derivada da primeira derivada parcial em direção a x. Então é 2a, o mesmo se aplica para os segundos derivados parciais em direção a y, duas vezes que é 2b. Como resultado e quanto à derivada para xy, vamos escrever como ac porque precisamos, por exemplo, diferenciar a derivada para x por y que é c. Então, qual é o nosso discriminante negativo? É D enquanto aqui está. Precisamos multiplicar nossa derivada parcial para x e para ys e subtrair derivada parcial para x e y ao quadrado. Então vamos escrever 4ab menos c ao quadrado. Bem, como todos podem entender, está relacionado com o próprio discriminante. Então, essa é a razão pela qual estamos usando. Então, vamos supor, por exemplo, alguns casos. Por exemplo, o que precisamos pedir para obter alguma convexidade ou concavidade aqui, precisamos pedir de d é um valor positivo então 4ab deve ser maior do que c ao quadrado. Então, o que podemos esperar daqui? Se um é positivo, então devemos esperar que ele é convexo. Se um é negativo, então devemos esperar que ele é côncavo, e esses são os resultados. Mas as perguntas que devemos terminar com é a questão de saber se realmente entendemos por que estamos falando, por exemplo, do primeiro coeficiente para x e não primeiro coeficiente para y. porque bem, você pode facilmente ver que x e y são interceptáveis Aqui. Então você pode simplesmente olhar não na primeira ou segunda derivada em direção a x duas vezes, mas na segunda derivada em direção a y duas vezes. Este é o lugar onde a nossa regra d vem para a luz, porque supor que temos um positivo, portanto, devemos entender que nossa função é convexa. Assim, por nossa regra, se a é positivo c ao quadrado é positivo , então b também deve ser positivo. O mesmo se aplica para o negativo a, há b deve ser sempre negativo, portanto, não importa realmente o que estamos olhando. A segunda derivada para x duas vezes ou para y duas vezes sua sempre deve ser o mesmo sinal e nossas conclusões devem ser sempre as mesmas. A última coisa que vamos ver aqui é que os casos em que temos alguns zeros fazendo nossos cálculos são complicados e precisam de mais atenção conforme fornecido por esta regra simples que acabamos de provar , construir e realmente imaginamos. Então nós vamos elaborar mais sobre isso enquanto estamos falando sobre nossa rotina de otimização na última semana, eu acredito. Por enquanto, nós acabamos de chegar com a idéia de determinação de convexidade no [inaudível]