То, что мы должны найти
о выпуклости, это связь между
выпуклостью и вторыми производными.
Итак, давайте предположим, что мы собираемся найти
общие термины между одним вариативным случаем и
его связью между вторым G с
разной выпуклостью и многомерным случаем.
Ну, прямая связь здесь
отличается, потому что хорошо,
то, что вы ожидаете увидеть здесь, это идея, что вторая
производная одиночных вариативных функций
должна быть положительной для функции быть выпуклой.
Конечно, есть вогнутый случай,
как вы все помните, но
это одно и то же [неразборчиво], поэтому мы не обсуждаем его.
Ну, это очевидно. Так что, конечно,
мы не имеем представления
о второй частичной производной здесь.
Мы не понимаем, что это такое.
Что такое понятие, а также мы не знаем,
что является первой
производной всей многомерной функции.
Но то, что мы можем сделать здесь,
предположим, что наша вторая
производная положительна для всех х на например, некоторые сегменты.
Затем, если мы умножим его на dx
квадрат неотрицательный, когда неравенство удерживает.
Но вещи, в которые мы на самом деле попали,
в левой части уравнения является
второй дифференциал функции
f, который является положительным для
всех возможных изменений аргумента.
Так что это понятие,
которое или то, что существует в случае
многомерных функций, и мы собираемся
обобщить наше исключение выпуклости из него.
Так что предположим
, что мы скажем почти то же самое.
Функция выпуклая, если второй дифференциал
положителен для всех
возможных изменений переменных. Это нормально.
Это мило. Но
у нас здесь проблема, потому что изменения
переменных являются вектором здесь.
Изменения в сторону х, изменения
в сторону y получают правильный вектор.
Поэтому нам нужно понять, как правильно определить случай,
является ли этот второй дифференциал всегда положительным.
Во-первых, давайте посмотрим на
второй дифференциал в его полном виде.
Давайте посмотрим на это, как мы смотрели на школу,
потому что то, что мы видим здесь,
является квадратичной функцией, например,
dx или dy или, может быть, это отношение вообще.
Мы смотрим на то, что
напоминает топор в квадрате плюс bx
плюс c. Что мы ожидали найти здесь?
Мы ожидаем, что эта функция всегда положительна.
Как это может случиться?
Как вы тоже помните,
график этой функции - парабола, и
она выглядит так или так, или, может быть, как эта.
Конечно, то, что мы должны
требовать от нашего второго дифференциала,
от нашей квадратичной функции
для того, чтобы это было все ответы, ну,
прежде всего, это должно
быть с негативным дискриминантом здесь.
Потому что если он имеет какие-либо корни, то,
таким образом, он имеет положительные и отрицательные значения,
и поэтому мы не собираемся
иметь наш строгий знак плюс, как в нашем предлагаемом правиле.
Поэтому нам нужно посмотреть на дискриминанта нашей функции.
Помните B в квадрате минус 4ac,
а затем просто попросите его быть отрицательным, без корней.
С другой стороны, это зависит,
если параболическая функция
не имеет корней, она либо оценивается вверх, либо вниз.
Так что в основном определяется
первым коэффициентом, который
является второй производной к x дважды.
То, что мы получим здесь,
мы получим здесь первое.
Нам нужно ретранслировать
на дискриминант параболической функции.
В нашем случае это наша переменная D заглавная здесь,
что означает, что либо не эта параболическая функция имеет корни.
Так что если этот D, который является отрицательным дискриминантом в
нашем случае, является положительным, то он не имеет корней.
Таким образом, он может быть как выпуклым, так и вогнутым.
Если хорошо, то остальное довольно легко.
Если первый коэффициент положительный,
то он выпуклый, то если
отрицательный, то вогнутый, и вот и все.
Используя только нашу школу,
алгебра просто придумывает идею о том, как
определить многомерную выпуклость.
Дело в том, что наша выпуклость и
наше правило является репо из линейной алгебры, потому что это
концепция полуположительной
определенности формы второго дифференциала, но вы
собираетесь узнать больше об этом в ходе
линейной алгебры или в наших дополнительных материалах, как всегда.
К настоящему времени,
чтобы убедиться, что мы действительно понимаем, что происходит,
давайте рассмотрим следующий пример.
Давайте посмотрим на функцию квадрат
плюс на квадрат плюс c, xy.
Во-первых, вычислить второй дифференциал и
определить, при каких условиях на a
, b, c я просто скажу, что a, b,
c реальны и не являются нулями,
просто чтобы упростить случай.
Так что мы будем делать в первую очередь?
Мы собираемся начать с частичных производных, что
является самым простым случаем, потому что к x
2ax плюс cy
и к y 2by плюс cx.
Тогда мы просто записать
вторые частичные производные.
Я думаю, что мы даже избежим записывать
наш второй дифференциал и
просто используем наши выпуклости
или лаконичности корни.
Таким образом, вторая производная к х является
производной первой частичной производной к х.
Таким образом, это 2а,
то же самое относится ко
второй частичной производной к y,
два раза, что 2b.
В результате и что касается производной к xy,
мы собираемся написать как
ac, потому что нам нужно, например,
дифференцировать производную к х на
y, который является c.
Это «Д «, пока здесь.
Нам нужно умножить нашу частичную производную
в сторону х и к Ys и
вычесть частичную производную в сторону х и у квадрата.
Итак, мы собираемся написать 4ab минус c в квадрате.
Ну, как вы все можете понять,
это связано с самим дискриминантом.
Так что в значительной степени это причина, по которой мы его используем.
Так давайте предположим, например, некоторые случаи.
Например, то, что нам нужно
попросить, чтобы получить некоторую выпуклость или краткость здесь,
нам нужно попросить d является положительным значением, поэтому
4ab должен быть больше, чем c в квадрате.
Так чего же мы можем ожидать отсюда?
Если положительный, то мы должны ожидать, что он выпуклой.
Если a отрицательный,
то следует ожидать,
что он вогнутый, и это результат.
Но вопросы, которые мы должны
закончить, это вопрос о том,
действительно ли мы понимаем, почему
мы говорим, например, о
первом коэффициенте к x, а не о
первом коэффициенте к y.
Потому что хорошо, вы можете легко видеть, что x и
y перехватываются Здесь.
Таким образом, вы можете просто смотреть не на первую или
вторую производную в сторону х дважды, а
на вторую производную к y дважды.
Это где наше правило d приходит в свет, потому что
предположим, что у нас
есть положительный, таким образом, мы должны понимать, что наша функция выпуклой.
Таким образом, по нашему правилу,
если a является положительным c квадратом является положительным,
таким образом b также должен быть положительным.
То же самое относится к отрицательному a,
там b всегда должно быть отрицательным, поэтому
на самом деле это не имеет значения, на что мы смотрим.
Вторая производная к x два раза или к
y два раза всегда должна быть одним и
тем же знаком, и
наши выводы должны быть всегда одинаковыми.
Последнее, что мы увидим здесь, это то,
что случаи, когда у нас есть некоторые нули,
выполняющие наши вычисления, сложны и требуют
большего внимания, как
это предусмотрено этим простым правилом, которое мы только что доказали
, построили и на самом деле придумали.
Таким образом, мы собираемся
подробнее об этом, пока мы говорим о
нашей процедуре оптимизации на прошлой неделе, я считаю.
На данный момент мы только что придумали
идею определения выпуклости на [неразборчивом]