Vì vậy điều chúng ta được kỳ vọng sẽ tìm thấy về
độ lồi là liên kết giữa
độ lồi và các dẫn xuất thứ hai.
Vì vậy, chúng ta hãy giả định rằng chúng ta sẽ tìm các thuật ngữ
chung giữa trường hợp biến thể đơn và
liên kết của nó giữa G thứ hai với
lồi khác nhau và trường hợp đa biến.
Vâng, kết nối thẳng về phía trước ở đây
là khác nhau bởi vì tốt,
những gì bạn mong đợi sẽ thấy ở đây là ý tưởng rằng
đạo hàm thứ hai của các hàm biến thể đơn
nên là dương tính cho một hàm được lồi.
Tất nhiên, có một trường hợp lõm
như tất cả các bạn đều nhớ nhưng
nó giống nhau [không nghe] Vì vậy, chúng tôi không thảo luận về nó.
Rõ ràng là vậy. Vì vậy, tất nhiên,
chúng ta không có ý tưởng về
đạo hàm từng phần thứ hai ở đây.
Chúng tôi không hiểu nó là gì.
Khái niệm là gì, cũng như chúng ta không
biết đạo hàm đầu tiên
của toàn bộ hàm đa biến là gì.
Nhưng những gì chúng ta có thể làm ở đây,
giả định rằng đạo hàm thứ hai
của chúng tôi là tích cực cho tất cả các x trên ví dụ, một số phân đoạn.
Sau đó, nếu chúng ta nhân nó bằng dx
bình phương không âm khi bất đẳng thức giữ.
Nhưng những thứ mà chúng ta đã thực sự nhận được chính mình vào,
ở phần bên trái của phương trình là
vi phân thứ hai của hàm
f đó là tích cực cho
tất cả các thay đổi có thể có của đối số.
Vì vậy, đó là khái niệm
mà hoặc những gì tồn tại trong trường hợp của các
hàm đa biến và chúng ta sẽ
khái quát hóa quy tắc lồi của chúng ta ra khỏi nó.
Vì vậy, giả sử rằng chúng
ta sẽ nói khá nhiều điều tương tự.
Hàm là lồi nếu vi phân thứ hai là
dương đối với tất cả các thay đổi có thể có
của biến. Không sao đâu.
Thật tuyệt. Nhưng chúng ta có
một vấn đề ở đây bởi vì thay đổi của các
biến là một vector ở đây.
Thay đổi về phía x, thay đổi
về phía y có nguồn gốc vectơ bên phải.
Vì vậy chúng ta cần phải hiểu làm thế nào để xác định đúng trường hợp có
hay không
vi phân thứ hai này luôn tích cực hay không.
Thứ nhất, chúng ta hãy nhìn vào
sự khác biệt thứ hai ở dạng đầy đủ của nó.
Hãy nhìn vào nó khi chúng ta đã nhìn vào trường học
bởi vì những gì chúng ta đang thấy ở đây là
một hàm bậc hai hướng tới ví dụ,
dx hoặc dy hoặc có thể đó là mối quan hệ nào.
Chúng tôi đang nhìn vào một cái gì đó
giống như rìu bình phương
cộng với bx cộng với c.
Chúng tôi dự kiến sẽ tìm thấy chức năng này luôn tích cực.
Làm thế nào nó có thể xảy ra?
Như bạn cũng nhớ,
đồ thị của chức năng này là parabola và
nó trông như thế này hoặc như thế này hoặc có thể như thế này.
Tất nhiên, những gì chúng ta nên
yêu cầu từ vi phân thứ hai của
chúng tôi, từ chức năng bậc hai của chúng tôi
để cho nó để được tất cả các phản ứng, tốt,
trước hết nó phải
được với một phân biệt đối xử tiêu cực ở đây.
Bởi vì nếu nó có bất kỳ gốc rễ,
do đó nó có một giá trị tích cực và tiêu cực
và do đó chúng tôi sẽ không
có dấu cộng nghiêm ngặt của chúng tôi như trong quy tắc đề xuất của chúng tôi.
Vì vậy, chúng ta cần phải nhìn vào sự phân biệt đối xử của chức năng của chúng ta.
Hãy nhớ B bình phương trừ 4ac,
và sau đó chỉ yêu cầu nó là tiêu cực, không có rễ.
Đối với phần khác, nó phụ thuộc
nếu một hàm parabol
không có rễ nó hoặc là đánh giá lên hoặc xuống.
Vì vậy mà về cơ bản được định
nghĩa bởi hệ số đầu tiên đó
là đạo hàm thứ hai đối với x hai lần.
Vì vậy, những gì chúng tôi có được ở đây,
chúng tôi có được ở đây cái đầu tiên.
Chúng ta cần chuyển tiếp
vào sự phân biệt đối xử của hàm parabol.
Trong trường hợp của chúng tôi nó là thay đổi D vốn của chúng tôi ở đây,
có nghĩa là hoặc không phải chức năng parabol này có rễ.
Vì vậy, nếu D này là một phân biệt đối xử tiêu cực trong
trường hợp của chúng tôi là tích cực thì nó không có rễ.
Do đó nó có thể là lồi hoặc lõm.
Nếu tốt, phần còn lại của khá dễ dàng.
Nếu hệ số đầu tiên là dương,
thì nó lồi, thì nếu nó
âm thì nó lõm, và đó là tất cả.
Bằng cách chỉ sử dụng trường học
của chúng tôi, đại số chỉ đưa ra ý tưởng làm thế nào
để xác định độ lồi đa biến.
Vấn đề là độ lồi
của chúng tôi và quy tắc của chúng tôi là repo từ đại số tuyến tính bởi vì nó là khái niệm về tính xác định bán dương
của các hình thức của vi phân thứ hai nhưng bạn
sẽ tìm hiểu thêm về nó trong quá trình
đại số tuyến tính hoặc trong các tài liệu bổ sung của chúng tôi như mọi khi.
Bởi bây giờ để
đảm bảo rằng chúng ta hiểu những gì đang xảy ra,
chúng ta hãy xem xét ví dụ sau đây.
Chúng ta hãy nhìn vào chức năng một
cộng bình phương bởi bình phương cộng c, xy.
Thứ nhất, tính toán vi phân thứ hai và
xác định dưới những điều kiện trên a,
b, c tôi sẽ chỉ nói rằng a, b,
c là có thật và không phải là số không,
chỉ để đơn giản hóa trường hợp.
Vậy chúng ta sẽ làm gì trước?
Chúng ta sẽ bắt đầu với các dẫn xuất một phần đó
là trường hợp dễ nhất bởi vì đối với x
là 2ax cộng với cy
và đối với y là 2by cộng với cx.
Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ viết ra
các dẫn xuất một phần thứ hai.
Tôi nghĩ chúng ta thậm chí sẽ tránh viết ra sự
khác biệt thứ hai của chúng ta và
chỉ cần sử dụng các
rễ lồi hoặc lõm của chúng ta một cách đơn giản.
Vì vậy đạo hàm thứ hai đối với x là đạo hàm
của đạo hàm từng phần thứ nhất đối với x
Vì vậy nó là 2a,
tương tự áp dụng cho
đạo hàm từng phần thứ hai đối với y,
hai lần đó là 2b.
Như là một kết quả và đối với các đạo hàm đối với xy,
chúng ta sẽ viết như
ac vì chúng ta cần phải ví dụ,
phân biệt đạo hàm đối với x
bởi y đó là c Vì vậy, phân biệt đối xử tiêu cực của chúng ta là gì?
Có phải là D trong khi ở đây.
Chúng ta cần nhân đạo hàm từng phần của chúng ta
đối với x và đối với ys và
trừ đạo hàm từng phần đối với x và y bình phương.
Vì vậy, chúng tôi sẽ viết 4ab trừ c bình phương.
Vâng, như các bạn có thể hiểu,
nó liên quan đến chính sự phân biệt đối xử.
Vì vậy, đó là lý do tại sao chúng tôi sử dụng nó.
Vì vậy, chúng ta hãy giả định ví dụ một số trường hợp.
Ví dụ, những gì chúng ta cần phải
yêu cầu để có được một số lồi hoặc lõm ở đây,
chúng ta cần hỏi d là một giá trị dương vì vậy
4ab nên lớn hơn c bình phương.
Vậy chúng ta có thể mong đợi điều gì ở đây?
Nếu một là tích cực thì chúng ta nên hy vọng rằng nó là lồi.
Nếu một là tiêu cực,
sau đó chúng ta nên hy vọng rằng nó
lõm, và đó là kết quả.
Nhưng những câu hỏi mà chúng ta nên
kết thúc là câu hỏi liệu
chúng ta có thực sự hiểu tại sao
chúng ta đang nói về ví dụ
hệ số đầu tiên đối với x chứ không phải
hệ số đầu tiên đối với y
Bởi vì tốt, bạn có thể dễ dàng thấy rằng x và
y có thể chặn được ở đây.
Vì vậy, bạn chỉ có thể nhìn không phải trên
đạo hàm đầu tiên hoặc thứ hai đối với x hai lần nhưng
trên đạo hàm thứ hai đối với y hai lần.
Đây là nơi quy tắc d của chúng tôi đi vào ánh sáng bởi vì
giả định rằng chúng ta có tích cực
a do đó chúng ta nên hiểu rằng chức năng của chúng tôi là lồi.
Vì vậy, theo quy tắc của chúng tôi,
nếu a là dương c bình phương là dương
do đó b cũng nên dương.
Điều tương tự cũng áp dụng cho tiêu cực a,
có b nên luôn luôn là tiêu cực do đó
nó không thực sự quan trọng những gì chúng ta đang nhìn vào.
Đạo hàm thứ hai đối với x hai lần hoặc đối với
y hai lần luôn luôn phải là
cùng một dấu hiệu và
kết luận của chúng tôi nên luôn luôn giống nhau.
Điều cuối cùng mà chúng ta sẽ thấy ở đây là
các trường hợp mà chúng ta có một số không
làm tính toán của chúng ta là khó khăn và cần
sự chú ý nhiều hơn như được cung cấp bởi
quy tắc đơn giản này mà chúng ta vừa chứng minh
, xây dựng, và thực sự tưởng tượng.
Vì vậy, chúng tôi sẽ
xây dựng thêm về điều này trong khi chúng tôi đang nói về
thói quen tối ưu hóa của chúng tôi vào tuần trước tôi tin.
Bây giờ, chúng tôi vừa nghĩ ra
ý tưởng xác định độ lồi trên [không nghe được]