حسنا، الآن كما وعدت يجب أن نفكر في الشروط الكافية
للتكامل.
حسنا لقد توصلنا مؤخرا إلى مثال أكثر قابلية للتكامل،
والآن يجب أن ننتقل إلى بعض الحالات الأكثر بساطة في الواقع.
لذلك نحن لن نحاول إثبات هذا
لك، لكننا سنذكر ذلك كحالات أساسية.
على سبيل المثال، إذا كانت الدالة شائعة بشكل
رتيب، ترتفع رتيبة أو تسقط على الإطلاق أو لا يوجد لديها انقطاع
على الجزء بأكمله، ثم أنها قابلة للتكامل على هذا الجزء.
وانها شيء لطيف، على سبيل المثال،
إذا كنت تستطيع أن ترى x مربع الذي يتم تعريفه
وتخطيطه في الشكل مثل هذا، وهذا هو لدينا x مربع من 1 إلى 0.
فمن السهل جدا أن نفهم أن أولا وقبل كل شيء،
هو رتابة يرتفع وثانيا وقبل كل شيء، فإنه لا يوجد لديه انقطاع.
حسنا وظائف ناش للجميع، لذلك انها متكاملة تماما.
وهكذا فقط دعونا نحاول النظر في كيفية حساب المرء باعتباره جزءا لا يتجزأ الطبيعي هنا.
ومن أجل القيام بذلك، دعونا ننظر فقط في بعض الحالات الجزئية.
انها ليست حالة عامة، يجب أن تفهم.
لكننا نعلم أنه بالنسبة لأي قسم وأي علامات،
يجب أن نحصل على نفس الحد هنا لأن الوظيفة قابلة للتكامل.
وبالتالي بالنسبة لأي قسم خاص وعلامات خاصة،
يجب أن تكون الإجابة هي نفسها.
لذلك دعونا ننظر التقسيم الرسمي هنا.
لذلك لدينا 1 إلى 0، ولدينا على سبيل المثال، n النقاط في التقسيم.
وبالتالي لدينا نفس طول كل جزء
ونقاط في الواقع 0، 1/n، 2/n
، وعلى الإطلاق، على الإطلاق،
حتى n/n، والذي يساوي في الواقع 1.
ودعونا نفترض
من أجل البساطة أننا ننظر في بعض النقاط هنا.
حسنا، على سبيل المثال، أنا فقط لا يمكن أن نفترض أننا يمكن أن نرى
اتخذت مع نهاية الحق من أي جزء، الحق.
لذلك بالنسبة لكل جزء من هذا القسم،
يجب كتابة المنطقة تحت المنحنى على النحو التالي.
طول القسم هو 1/n، والحق.
ويجب أن نضاعف ذلك بقيمة الوظيفة في نقطة براعة لدينا.
نقطة براعة في حالتنا، على سبيل المثال،
لأول كان وهو (1/ن) مربع، أليس كذلك؟
حسنا، كان ذلك لطيفا.
لذلك بالنسبة للثاني هو (2/ن) مربع
مضروبا في الطول، وهو نفسه وعلى
الإطلاق، ويذهب ويذهب ويذهب ويذهب ويذهب ويذهب.
لذلك دعونا نحاول فقط إعادة كتابتها بطريقة أكثر شمولا.
أولا وقبل كل شيء، ينبغي أن ننظر في نقل هذا
المضاعف المشترك وهذا القاسم المشترك هنا.
لذلك نحن الحصول على شيء مثل القاسم ن السلطة 3.
وفي المرشح، لدينا 1 مربعة+2 مربعة+3 مربعة،
وهذا يرتفع حتى ن تربيع، وهو
في الواقع قيمة الجزء الأخير، لا هنا.
حسنا، لذلك حان الوقت لتذكر دورة الرياضيات الخاصة بك،
والتي كانت الأولى في هذا البرنامج على شبكة الإنترنت.
وتذكر أن الصيغة كان هذا مجموع المربعات
لأول ن الأرقام الطبيعية, وأنه من السهل جدا.
أنا ذاهب لكتابة هذا أسفل لك.
ومن ن مضروبا في (ن +1)
مضروبا في (2n + 1)/6 ن السلطة 3.
إذن هذا كل شيء.
إذا كنت لا تتذكر،
يرجى مراجعة الفيديو من دورة الرياضيات المنفصلة المتعلقة بالاستقراء.
لذا وإذا كنت لا تريد أن تتذكر الاستقراء، فهذا سهل نوعاً ما،
وصدقني أن هذه الصيغة صحيحة.
لذا فإن آخر شيء علينا القيام به هو أننا بحاجة إلى العثور على الحد،
وحساب الإجابة.
من أجل القيام بذلك،
نحن بحاجة إلى العثور على الحد عندما يقترب قطر هذا القسم من 0.
وبعبارة أخرى في حالتنا، إذا كان القسم
بشكل موحد حيث أن طول كل قطعة
يتزامن مع القطر ويساوي 1/n،
وبالتالي إذا كان يقترب من 0،
ثم ن يجب أن تقترب من اللانهاية.
ونحن بحاجة إلى النظر في الحد من هذا التسلسل في حين أن ن يقترب ما لا نهاية.
وهو نوع من السهل بالنسبة لنا لأنه متعدد الحدود
مقسوما على متعدد الحدود، ونحن جميعا نعرف كيفية التعامل مع هذا واحد.
نحن بحاجة إلى تقسيم كل من
البسط والقسم من قبل أعلى قوة، في حالتنا انها القوة الثالثة.
ونحصل على 1، نضرب ذلك
من خلال (1 + 1/ن) مضروبا في
(2 + 1/ن)/6.
وإذا كان n يقترب من اللانهاية، 1/ن يقترب 0.
وهكذا، هذا هو 0، وهذا هو 0، ونحصل على 2/6،
أو بعبارة أخرى ثلث.
والثلث هو في الواقع جوابنا، هذا لطيف.
وسأهنئكم بأول
جزء محدد قمت بحسابه بالفعل.
لذلك نحن هنا سوف نمضي قدما مع فهم كيف
نتجنب هذه الحالات المعقدة للغاية من أخذ حدود
واستخدام بعض قواعد الرياضيات المنفصلة والحث
ولحالة أكثر عمومية لحساب التكامل المحدد.
[ موسيقى]