Okay, jetzt, wie ich versprochen habe, sollten wir über ausreichende Bedingungen für
Integrability nachdenken.
Und nun, wir haben tatsächlich vor kurzem mit einem integrierbaren Beispiel kommen,
und jetzt sollten wir zu einigen viel einfacheren Fällen tatsächlich übergehen.
Also werden wir nicht versuchen, dies für
Sie zu beweisen, aber wir werden es nur als grundlegende Fälle angeben.
Zum Beispiel, wenn die Funktion monotonisch üblich ist,
monotonisch steigt oder fällt oder keine Abbrüche
auf dem gesamten Segment hat, dann ist sie in diesem Segment integrierbar.
Und es ist schön, zum Beispiel,
wenn Sie das x Quadrat sehen können, das
in der Figur so definiert und gezeichnet ist, das ist unser x Quadrat von 1 bis 0.
Es ist ziemlich einfach zu verstehen, dass
es vor allem monotonisch steigt und zweitens, es hat keine Abbrüche.
Nun, Nash Funktionen von allen, also ist es völlig integrierbar.
Lassen Sie uns also nur versuchen zu überlegen, wie man hier als natürliches Integral berechnen sollte.
Und um dies zu tun, lassen Sie uns nur einen gut teilweisen Fall betrachten.
Es ist kein allgemeiner Fall, du solltest es verstehen.
Aber wir wissen, dass
wir für jede Partition und jedes Tagging die gleiche Grenze hier erhalten sollten, da die Funktion integrierbar ist.
Daher
sollte die Antwort für jede spezielle Partition und spezielle Tagging immer noch die gleiche sein.
Also lassen Sie uns hier uniformale Partition betrachten.
So haben wir 1 bis 0, und wir haben zum Beispiel n Punkte in der Partition.
So haben wir die gleiche Länge jedes Segments und
Punkte tatsächlich 0, 1/n, 2/n
, und was auch immer, was auch immer,
bis n/n, was tatsächlich gleich 1 ist.
Und lassen Sie uns
der Einfachheit halber davon ausgehen, dass wir hier einen Punkt in Betracht ziehen.
Nun, zum Beispiel, ich kann einfach nicht davon ausgehen, dass wir
die Aufnahme mit dem rechten Ende des Segments sehen können, richtig.
Daher
sollte für jedes Segment dieser Partition der Bereich unter der Kurve wie folgt geschrieben werden.
Die Länge der Partition ist 1/n, rechts.
Und wir sollten es mit dem Wert der Funktion in unserem Takt Punkt multiplizieren.
Takt Punkt in unserem Fall, zum Beispiel, für
die erste war und ist (1/n) quadriert, oder?
Okay, das war nett.
Also für die zweite ist (2/n) Quadrat
multipliziert mit der Länge, die gleich ist und
was auch immer, und geht und geht und geht und geht.
Also lassen Sie uns einfach versuchen, es auf die umfassendere Weise neu zu schreiben.
Zunächst einmal sollten wir darüber nachdenken, diesen gemeinsamen
Multiplikator und diesen gemeinsamen Teiler hier zu verschieben.
So bekommen wir so etwas wie ein Nenner n Macht 3.
Und im Nominator haben wir 1 Quadrat + 2 Quadrat + 3 Quadrat,
und dies geht bis n Quadrat, was tatsächlich
der Wert für das letzte Segment ist, nicht genau hier.
Okay, also ist es Zeit, sich an Ihren diskreten Mathematikkurs zu erinnern
, der der erste in diesem Online-Studiengang war.
Und denken Sie daran, die Formel war diese Summe der Quadrate für die
ersten n natürlichen Zahlen, und es ist ziemlich einfach.
Ich werde das für dich aufschreiben.
Es wird n multipliziert mit (n +1)
multipliziert mit (2n + 1)/6 n Macht 3.
Das war's also.
Wenn Sie sich nicht erinnern,
besuchen Sie bitte das Video aus dem diskreten Mathematikkurs über Induktion.
Also, und wenn Sie sich nicht an die Induktion erinnern wollen, na ja, das ist irgendwie einfach,
und glauben Sie mir, dass diese Formel richtig ist.
Das letzte, was wir tun müssen, ist, dass wir tatsächlich das Limit finden und
die Antwort berechnen müssen.
Um dies zu tun,
müssen wir die Grenze finden, wenn der Durchmesser dieser Partition sich 0 nähert.
Mit anderen Worten in unserem Fall, wenn die Partition
gleichmäßig ist, da die Länge jedes Segments
mit dem Durchmesser übereinstimmt und gleich 1/n
ist. Also, wenn es sich 0 nähert,
dann n sollte sich unendlich nähern.
Und wir müssen die Grenze dieser Sequenz betrachten, während n sich der Unendlichkeit nähert.
Und es ist irgendwie leicht für uns, weil es polynom
durch Polynom geteilt ist, und wir alle wissen, wie man damit umgeht.
Wir müssen sowohl Zähler als auch
Nenner durch die höchste Macht teilen, in unserem Fall ist es die dritte Macht.
Und wir erhalten 1, multiplizieren Sie das
mit (1 + 1/n)
multipliziert mit (2 + 1/n)/6.
Und wenn n sich der Unendlichkeit nähert, nähert sich 1/n 0.
Das ist also 0, das ist 0, und wir bekommen 2/6,
oder mit anderen Worten ein Drittel.
Und ein Drittel ist eigentlich unsere Antwort, das ist nett.
Und ich gratuliere Ihnen zu dem ersten definitiven
Integral, das Sie tatsächlich berechnet haben.
Also hier werden wir mit dem Verständnis vorankommen, wie
wir diese extrem komplexen Fälle vermeiden, Grenzen zu nehmen und
einige diskrete Mathematik-Regeln und Induktion zu verwenden und
für allgemeineren Fall der Berechnung bestimmter Integrale.
( MUSIK)