Bien, ahora como prometí deberíamos pensar en condiciones suficientes para la
integrabilidad.
Y bueno, en realidad hemos llegado recientemente con un ejemplo más integrable,
y ahora deberíamos pasar a algunos casos mucho más simples en realidad.
Así que no vamos a tratar de probar esto para
usted, pero vamos a decirlo como un caso básico.
Por ejemplo, si la función es monótonicamente común,
monóticamente sube o cae en absoluto o no tiene interrupciones
en todo el segmento, entonces es integrable en este segmento.
Y es bueno, por ejemplo,
si puedes ver la x cuadrada que está definida y
trazada en la figura de esta manera, esa es nuestra x cuadrada de 1 a 0.
Es bastante fácil entender que, en primer lugar,
se eleva monóticamente y, en segundo lugar, no tiene interrupciones.
Bueno, las funciones de Nash de todos, por lo que es totalmente integrable.
Por lo tanto, sólo vamos a tratar de considerar cómo uno debe calcular como integral natural aquí.
Y para hacerlo, consideremos un caso bien parcial.
No es un caso general, deberías entenderlo.
Pero sabemos que para cualquier partición y cualquier etiquetado,
deberíamos obtener el mismo límite aquí ya que la función es integrable.
Por lo tanto, para cualquier partición especial y etiquetado especial,
la respuesta debe ser la misma.
Así que consideremos la partición uniformal aquí.
Así que tenemos de 1 a 0, y tenemos, por ejemplo, n puntos en la partición.
Así tenemos la misma longitud de cada segmento y
puntos en realidad 0, 1/n, 2/n, y
lo que sea, lo que sea, lo que sea,
hasta n/n, que en realidad es igual a 1.
Y supongamos, en
aras de la simplicidad, que estamos considerando algún punto aquí.
Bueno, por ejemplo, no puedo asumir que podamos ver lo
tomado con el extremo derecho de cada segmento, correcto.
Por lo tanto, para cada segmento de esta partición,
el área debajo de la curva debe escribirse de la siguiente manera.
La longitud de la partición es 1/n, derecha.
Y debemos multiplicarlo por el valor de la función en nuestro punto de tacto.
Punto de tacto en nuestro caso, por ejemplo, para
el primero fue y es (1/n) cuadrado, ¿verdad?
Vale, eso estuvo bien.
Así que para el segundo es (2/n) cuadrado
multiplicado por la longitud, que es la misma y
cualquier cosa, y va, va y va y va y va y va.
Así que intentemos reescribirlo de la manera más completa.
En primer lugar, deberíamos considerar mover
aquí este multiplicador común y este divisor común.
Así que estamos obteniendo algo así como un denominador n poder 3.
Y en el nominador, tenemos 1 cuadrado + 2 al cuadrado + 3 al cuadrado,
y esto sube hasta n cuadrado, que en realidad es
el valor para el último segmento, no aquí.
Vale, es hora de recordar tu discreto curso de matemáticas,
que fue el primero en este programa de grado en línea.
Y recuerde que la fórmula era esta suma de cuadrados para los
primeros n números naturales, y es bastante fácil.
Voy a escribir esto por ti.
Es n multiplicado por (n +1) multiplicado
por (2n + 1)/6 n potencia 3.
Así que eso es todo.
Si no lo recuerdas,
por favor revisa el video del curso discreto de matemáticas relativo a la inducción.
Entonces, y si no quieres recordar la inducción, bueno eso es algo fácil,
y créeme que esta fórmula es correcta.
Así que lo último que tenemos que hacer es encontrar realmente el límite,
calcular la respuesta.
Para hacerlo,
necesitamos encontrar el límite cuando el diámetro de esta partición se acerca a 0.
En otras palabras, en nuestro caso, si la partición
es uniformemente ya que la longitud de cada segmento
coincide con el diámetro y es igual a 1/n.
Así, si se acerca a 0,
entonces n debería acercarse al infinito.
Y tenemos que considerar el límite de esta secuencia mientras n se acerca al infinito.
Y es algo fácil para nosotros porque es polinomio
dividido por polinomio, y todos sabemos cómo manejar esto.
Tenemos que dividir tanto el numerador como el
denominador por la potencia más alta, en nuestro caso es la tercera potencia.
Y obtenemos 1, multiplicar eso
por (1 + 1/n) multiplicado
por (2 + 1/n)/6.
Y si n se acerca al infinito, 1/n se acerca a 0.
Por lo tanto, esto es 0, esto es 0, y obtenemos 2/6,
o en otras palabras un tercio.
Y un tercio es en realidad nuestra respuesta, eso es bueno.
Y voy a felicitarte por la primera
integral definitiva que has calculado.
Así que aquí vamos a seguir adelante con la comprensión de cómo
evitamos estos casos extremadamente complejos de tomar límites y
usar algunas reglas matemáticas discretas e inducción y
para un caso más general de calcular integrales definitivas.
[ MÚSICA]